Страница 70 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Решите неравенство:

1) $3^x > \frac{1}{81}$;

2) $0,5^x \le 0,0625$;

3) $(\frac{4}{11})^{x^2} \ge (\frac{11}{4})^{4x-32}$;

4) $0,7^{\frac{x^2+6x-7}{x}} \ge 1$;

5) $125 \cdot 0,2^{x^2+4x} < 0,04^x$;

6) $0,6^{\frac{x^2-12}{x}} \le \frac{625}{81}$;

7) $2 \cdot 8^{\frac{1}{x}} \le (\frac{1}{2})^{1-x}$;

8) $(\frac{\pi}{6})^{\frac{4}{x+2}-1} \le (\frac{\pi}{6})^{\frac{4}{x+4}}$.

1) Решим неравенство $3^x > \frac{1}{81}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 3.
Так как $81 = 3^4$, то $\frac{1}{81} = 3^{-4}$.
Неравенство принимает вид: $3^x > 3^{-4}$.
Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:
$x > -4$.
Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

2) Решим неравенство $0,5^x \le 0,0625$.
Представим обе части неравенства в виде степеней с одинаковым основанием.
$0,5 = \frac{1}{2}$.
$0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^x \le (\frac{1}{2})^4$.
Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge 4$.
Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

3) Решим неравенство $(\frac{4}{11})^{x^2} > (\frac{11}{4})^{4x-32}$.
Приведем степени к одному основанию. Заметим, что $\frac{11}{4} = (\frac{4}{11})^{-1}$.
$(\frac{4}{11})^{x^2} > ((\frac{4}{11})^{-1})^{4x-32}$
$(\frac{4}{11})^{x^2} > (\frac{4}{11})^{-(4x-32)}$
$(\frac{4}{11})^{x^2} > (\frac{4}{11})^{32-4x}$.
Поскольку основание $0 < \frac{4}{11} < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 < 32-4x$
$x^2 + 4x - 32 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 32 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 4$.
Неравенство можно записать в виде $(x+8)(x-4) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал между корнями.
$-8 < x < 4$.
Ответ: $x \in (-8; 4)$.

4) Решим неравенство $0,7^{\frac{x^2+6x-7}{x}} \ge 1$.
Представим 1 как степень с основанием 0,7: $1 = 0,7^0$.
$0,7^{\frac{x^2+6x-7}{x}} \ge 0,7^0$.
Поскольку основание $0 < 0,7 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется:
$\frac{x^2+6x-7}{x} \le 0$.
Область допустимых значений: $x \ne 0$.
Разложим числитель на множители: $x^2+6x-7 = (x+7)(x-1)$.
$\frac{(x+7)(x-1)}{x} \le 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=-7$, $x=1$. Нуль знаменателя: $x=0$.
Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах:
- при $x>1$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$
- при $0<x<1$: $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$
- при $-7<x<0$: $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$
- при $x<-7$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$
Выбираем интервалы со знаком "минус". Точки $x=-7$ и $x=1$ включаем, так как неравенство нестрогое, а точку $x=0$ исключаем.
$x \in (-\infty; -7] \cup (0; 1]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup (0; 1]$.

5) Решим неравенство $125 \cdot 0,2^{x^2+4x} < 0,04^x$.
Приведем все члены к основанию 5.
$125 = 5^3$.
$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
$0,04 = \frac{1}{25} = 5^{-2}$.
Подставим в неравенство:
$5^3 \cdot (5^{-1})^{x^2+4x} < (5^{-2})^x$
$5^3 \cdot 5^{-x^2-4x} < 5^{-2x}$
$5^{3-x^2-4x} < 5^{-2x}$.
Основание $5 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$3 - x^2 - 4x < -2x$
$0 < x^2 + 2x - 3$
$x^2 + 2x - 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни $x_1 = -3$, $x_2 = 1$.
$(x+3)(x-1) > 0$.
Решением является объединение интервалов за пределами корней.
$x < -3$ или $x > 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

6) Решим неравенство $0,6^{\frac{x^2-12}{x}} \le \frac{625}{81}$.
Приведем к общему основанию. $0,6 = \frac{3}{5}$.
$\frac{625}{81} = \frac{5^4}{3^4} = (\frac{5}{3})^4 = ((\frac{3}{5})^{-1})^4 = (\frac{3}{5})^{-4}$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{5})^{\frac{x^2-12}{x}} \le (\frac{3}{5})^{-4}$.
Основание $0 < \frac{3}{5} < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняем:
$\frac{x^2-12}{x} \ge -4$.
ОДЗ: $x \ne 0$.
$\frac{x^2-12}{x} + 4 \ge 0$
$\frac{x^2-12+4x}{x} \ge 0$
$\frac{x^2+4x-12}{x} \ge 0$.
Разложим числитель на множители: $x^2+4x-12 = (x+6)(x-2)$.
$\frac{(x+6)(x-2)}{x} \ge 0$.
Решаем методом интервалов. Нули: $x=-6, x=2, x=0$.
- при $x > 2$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$
- при $0 < x < 2$: $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$
- при $-6 < x < 0$: $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$
- при $x < -6$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$
Выбираем интервалы со знаком "плюс", включая нули числителя.
$x \in [-6; 0) \cup [2; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-6; 0) \cup [2; +\infty)$.

7) Решим неравенство $2 \cdot 8^{\frac{1}{x}} \le (\frac{1}{2})^{1-x}$.
Приведем все члены к основанию 2.
$2 = 2^1$, $8 = 2^3$, $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$2^1 \cdot (2^3)^{\frac{1}{x}} \le (2^{-1})^{1-x}$
$2^1 \cdot 2^{\frac{3}{x}} \le 2^{-(1-x)}$
$2^{1+\frac{3}{x}} \le 2^{x-1}$.
Основание $2>1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
ОДЗ: $x \ne 0$.
$1+\frac{3}{x} \le x-1$
$2 - x + \frac{3}{x} \le 0$
$\frac{2x - x^2 + 3}{x} \le 0$
$\frac{-x^2+2x+3}{x} \le 0$.
Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$\frac{x^2-2x-3}{x} \ge 0$.
Разложим числитель: $x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$.
$\frac{(x-3)(x+1)}{x} \ge 0$.
Решаем методом интервалов. Нули: $x=3, x=-1, x=0$.
- при $x > 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$
- при $0 < x < 3$: $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$
- при $-1 < x < 0$: $\frac{(-)(-)}{(-)} > 0$
- при $x < -1$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$
Выбираем интервалы со знаком "плюс", включая нули числителя.
$x \in [-1; 0) \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-1; 0) \cup [3; +\infty)$.

8) Решим неравенство $(\frac{\pi}{6})^{\frac{4}{x+2}-1} \le (\frac{\pi}{6})^{\frac{4}{x+4}}$.
Оценим основание степени: $\pi \approx 3,14$, значит $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3,14}{6} \approx 0,52$.
Так как $0 < \frac{\pi}{6} < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.
$\frac{4}{x+2}-1 \ge \frac{4}{x+4}$.
ОДЗ: $x \ne -2$, $x \ne -4$.
$\frac{4}{x+2} - 1 - \frac{4}{x+4} \ge 0$.
Приведем к общему знаменателю $(x+2)(x+4)$:
$\frac{4(x+4) - (x+2)(x+4) - 4(x+2)}{(x+2)(x+4)} \ge 0$
$\frac{4x+16 - (x^2+6x+8) - 4x-8}{(x+2)(x+4)} \ge 0$
$\frac{8 - x^2-6x-8}{(x+2)(x+4)} \ge 0$
$\frac{-x^2-6x}{(x+2)(x+4)} \ge 0$
$\frac{-x(x+6)}{(x+2)(x+4)} \ge 0$.
Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$\frac{x(x+6)}{(x+2)(x+4)} \le 0$.
Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x=0, x=-6$. Нули знаменателя: $x=-2, x=-4$.
Отмечаем точки на числовой прямой в порядке возрастания: -6, -4, -2, 0.
- при $x > 0$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
- при $-2 < x < 0$: $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$
- при $-4 < x < -2$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$
- при $-6 < x < -4$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$
- при $x < -6$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$
Выбираем интервалы со знаком "минус". Точки $x=-6$ и $x=0$ включаем (неравенство нестрогое), точки $x=-4$ и $x=-2$ исключаем (нули знаменателя).
$x \in [-6; -4) \cup (-2; 0]$.
Ответ: $x \in [-6; -4) \cup (-2; 0]$.

19. Решите неравенство:

1) $4^{x+1} - 4^{x-1} + 4^{x-2} \le 244;$

2) $0,2^{x-3} - 0,2^{x-1} \ge 600.$

1) $4^{x+1} - 4^{x-1} + 4^{x-2} \le 244$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Для этого вынесем за скобки общий множитель $4^{x-2}$ (степень с наименьшим показателем):

$4^{(x-2)+3} - 4^{(x-2)+1} + 4^{x-2} \le 244$

$4^{x-2} \cdot 4^3 - 4^{x-2} \cdot 4^1 + 4^{x-2} \cdot 1 \le 244$

Вынесем $4^{x-2}$ за скобки:

$4^{x-2}(4^3 - 4^1 + 1) \le 244$

Вычислим значение выражения в скобках:

$64 - 4 + 1 = 61$

Неравенство принимает вид:

$4^{x-2} \cdot 61 \le 244$

Разделим обе части неравенства на 61:

$4^{x-2} \le \frac{244}{61}$

$4^{x-2} \le 4$

Представим 4 как $4^1$:

$4^{x-2} \le 4^1$

Поскольку основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует больший показатель, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x-2 \le 1$

$x \le 3$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 3]$.

Ответ: $(-\infty; 3]$.

2) $0,2^{x-3} - 0,2^{x-1} \ge 600$

Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель. Удобнее всего вынести степень с меньшим показателем, то есть $0,2^{x-3}$:

$0,2^{x-3} - 0,2^{(x-3)+2} \ge 600$

$0,2^{x-3} - 0,2^{x-3} \cdot 0,2^2 \ge 600$

Вынесем $0,2^{x-3}$ за скобки:

$0,2^{x-3}(1 - 0,2^2) \ge 600$

Вычислим значение выражения в скобках:

$1 - 0,2^2 = 1 - 0,04 = 0,96$

Неравенство принимает вид:

$0,2^{x-3} \cdot 0,96 \ge 600$

Разделим обе части на 0,96:

$0,2^{x-3} \ge \frac{600}{0,96}$

$\frac{600}{0,96} = \frac{600}{96/100} = \frac{600 \cdot 100}{96} = \frac{60000}{96} = 625$

Получаем:

$0,2^{x-3} \ge 625$

Представим обе части неравенства в виде степеней с одним основанием. Заметим, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $625 = 5^4$.

$(5^{-1})^{x-3} \ge 5^4$

$5^{-(x-3)} \ge 5^4$

$5^{-x+3} \ge 5^4$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, знак неравенства для показателей сохраняется:

$-x+3 \ge 4$

$-x \ge 4 - 3$

$-x \ge 1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -1$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; -1]$.

Ответ: $(-\infty; -1]$.

20. Решите неравенство:

1) $16^x - 20 \cdot 4^x + 64 \ge 0;$

2) $3^{2x+1} - 28 \cdot 3^x + 9 < 0;$

3) $25^{x+0,5} + 4 \cdot 5^x - 1 \ge 0;$

4) $3^x + 3^{1-x} \ge 4;$

5) $4 \cdot 0,5^{2x} - 17 \cdot 0,5^x + 4 \le 0;$

6) $9^{x+0,5} - 8 \cdot 3^x - 3 < 0.$

1) Решим неравенство $16^x - 20 \cdot 4^x + 64 \ge 0$.
Представим $16^x$ как $(4^x)^2$. Неравенство примет вид: $(4^x)^2 - 20 \cdot 4^x + 64 \ge 0$.
Это квадратное неравенство относительно $4^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 4^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем неравенство: $t^2 - 20t + 64 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 20t + 64 = 0$.
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим $t_1 = 4$ и $t_2 = 16$.
Так как ветви параболы $y = t^2 - 20t + 64$ направлены вверх, неравенство выполняется при $t \le 4$ или $t \ge 16$.
С учетом условия $t > 0$, получаем два случая:
1. $0 < t \le 4$
2. $t \ge 16$
Выполним обратную замену $t = 4^x$:
1. $4^x \le 4 \implies 4^x \le 4^1$. Так как основание степени $4 > 1$, то $x \le 1$.
2. $4^x \ge 16 \implies 4^x \ge 4^2$. Так как основание степени $4 > 1$, то $x \ge 2$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

2) Решим неравенство $3^{2x+1} - 28 \cdot 3^x + 9 < 0$.
Используя свойство степеней, преобразуем $3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^x)^2$.
Неравенство примет вид: $3 \cdot (3^x)^2 - 28 \cdot 3^x + 9 < 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство: $3t^2 - 28t + 9 < 0$.
Найдем корни уравнения $3t^2 - 28t + 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.
Корни $t_{1,2} = \frac{28 \pm 26}{6}$, откуда $t_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{54}{6} = 9$.
Ветви параболы $y = 3t^2 - 28t + 9$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{3} < t < 9$.
Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену $t = 3^x$:
$\frac{1}{3} < 3^x < 9 \implies 3^{-1} < 3^x < 3^2$.
Так как основание степени $3 > 1$, то для показателей степени неравенство сохраняется: $-1 < x < 2$.
Ответ: $x \in (-1, 2)$.

3) Решим неравенство $25^{x+0,5} + 4 \cdot 5^x - 1 \ge 0$.
Преобразуем $25^{x+0,5} = 25^x \cdot 25^{0,5} = (5^2)^x \cdot \sqrt{25} = (5^x)^2 \cdot 5$.
Неравенство примет вид: $5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 \ge 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
Получаем неравенство: $5t^2 + 4t - 1 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $5t^2 + 4t - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
Корни $t_{1,2} = \frac{-4 \pm 6}{10}$, откуда $t_1 = -1$ и $t_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{5}$.
Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t \le -1$. Остается $t \ge \frac{1}{5}$.
Выполним обратную замену $t = 5^x$:
$5^x \ge \frac{1}{5} \implies 5^x \ge 5^{-1}$.
Так как основание степени $5 > 1$, то $x \ge -1$.
Ответ: $x \in [-1, \infty)$.

4) Решим неравенство $3^x + 3^{1-x} \ge 4$.
Преобразуем $3^{1-x} = \frac{3^1}{3^x} = \frac{3}{3^x}$.
Неравенство примет вид: $3^x + \frac{3}{3^x} \ge 4$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
Получаем неравенство: $t + \frac{3}{t} \ge 4$.
Так как $t > 0$, умножим обе части на $t$, сохранив знак неравенства:
$t^2 + 3 \ge 4t \implies t^2 - 4t + 3 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le 1$ или $t \ge 3$. Оба решения удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену $t = 3^x$:
1. $3^x \le 1 \implies 3^x \le 3^0$. Так как основание $3 > 1$, то $x \le 0$.
2. $3^x \ge 3 \implies 3^x \ge 3^1$. Так как основание $3 > 1$, то $x \ge 1$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.

5) Решим неравенство $4 \cdot 0,5^{2x} - 17 \cdot 0,5^x + 4 \le 0$.
Заметим, что $0,5^{2x} = (0,5^x)^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 0,5^x$, где $t > 0$.
Получаем неравенство: $4t^2 - 17t + 4 \le 0$.
Найдем корни уравнения $4t^2 - 17t + 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Корни $t_{1,2} = \frac{17 \pm 15}{8}$, откуда $t_1 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $t_2 = \frac{32}{8} = 4$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{4} \le t \le 4$.
Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену $t = 0,5^x$:
$\frac{1}{4} \le 0,5^x \le 4$.
Представим все части неравенства в виде степени с основанием 0,5:
$(0,5)^2 \le 0,5^x \le (0,5)^{-2}$.
Так как основание степени $0,5 < 1$, то при переходе к показателям степени знаки неравенства меняются на противоположные:
$2 \ge x \ge -2$, что эквивалентно $-2 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [-2, 2]$.

6) Решим неравенство $9^{x+0,5} - 8 \cdot 3^x - 3 < 0$.
Преобразуем $9^{x+0,5} = 9^x \cdot 9^{0,5} = (3^2)^x \cdot \sqrt{9} = (3^x)^2 \cdot 3$.
Неравенство примет вид: $3 \cdot (3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 3 < 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
Получаем неравенство: $3t^2 - 8t - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $3t^2 - 8t - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.
Корни $t_{1,2} = \frac{8 \pm 10}{6}$, откуда $t_1 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{18}{6} = 3$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-\frac{1}{3} < t < 3$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < 3$.
Выполним обратную замену $t = 3^x$:
$3^x < 3 \implies 3^x < 3^1$.
Так как основание степени $3 > 1$, то $x < 1$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

21. Решите неравенство:

1) $21^x - 9 \cdot 7^x - 7 \cdot 3^x + 63 \le 0;$

2) $\frac{0.1^x - 0.01}{6 - x} \ge 0.$

1) $21^x - 9 \cdot 7^x - 7 \cdot 3^x + 63 \le 0$

Преобразуем левую часть неравенства. Представим $21^x$ как $7^x \cdot 3^x$ и сгруппируем слагаемые:

$(7^x \cdot 3^x - 9 \cdot 7^x) - (7 \cdot 3^x - 63) \le 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$7^x(3^x - 9) - 7(3^x - 9) \le 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(3^x - 9)$:

$(7^x - 7)(3^x - 9) \le 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни каждого множителя, приравняв их к нулю:

$7^x - 7 = 0 \implies 7^x = 7^1 \implies x = 1$.

$3^x - 9 = 0 \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

Полученные точки $x=1$ и $x=2$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; \infty)$. Определим знак выражения $(7^x - 7)(3^x - 9)$ на каждом интервале.

При $x < 1$ (например, $x=0$): $(7^0-7)(3^0-9) = (-6)(-8) = 48 > 0$.

При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $7^{1.5}-7 > 0$, а $3^{1.5}-9 = \sqrt{27}-9 < 0$. Произведение будет отрицательным.

При $x > 2$ (например, $x=3$): $(7^3-7)(3^3-9) = (336)(18) > 0$.

Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю. Это происходит на интервале $(1; 2)$, а также в точках, где выражение равно нулю ($x=1$ и $x=2$).

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[1, 2]$.

Ответ: $x \in [1, 2]$.

2) $\frac{0.1^x - 0.01}{6-x} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Найдем корень числителя:

$0.1^x - 0.01 = 0 \implies 0.1^x = 0.01 \implies 0.1^x = (0.1)^2 \implies x = 2$.

Найдем корень знаменателя:

$6 - x = 0 \implies x = 6$.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 6$.

Отметим точки $x=2$ (закрашенная, так как неравенство нестрогое) и $x=6$ (выколотая) на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 2]$, $(2; 6)$ и $(6; \infty)$.

Определим знак дроби на каждом интервале, используя пробные точки:

Интервал $(-\infty; 2)$: возьмем $x=0$. $\frac{0.1^0 - 0.01}{6-0} = \frac{1 - 0.01}{6} = \frac{0.99}{6} > 0$. Этот интервал является частью решения.

Интервал $(2; 6)$: возьмем $x=3$. $\frac{0.1^3 - 0.01}{6-3} = \frac{0.001 - 0.01}{3} = \frac{-0.009}{3} < 0$. Этот интервал не является частью решения.

Интервал $(6; \infty)$: возьмем $x=7$. $\frac{0.1^7 - 0.01}{6-7} = \frac{\text{отрицательное число}}{\text{отрицательное число}} > 0$. Этот интервал является частью решения.

Объединяем полученные результаты. Точка $x=2$ включается в решение, так как при этом значении числитель равен нулю. Точка $x=6$ исключается.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup (6, \infty)$.

22. Решите неравенство:

1) $7^{2x+1} + 5 \cdot 14^x - 2^{2x+1} \ge 0;$

2) $15 \cdot 25^{-\frac{1}{x}} - 16 \cdot 15^{-\frac{1}{x}} < 15 \cdot 9^{-\frac{1}{x}}.$

1) $7^{2x+1} + 5 \cdot 14^x - 2^{2x+1} \ge 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$7 \cdot 7^{2x} + 5 \cdot (2 \cdot 7)^x - 2 \cdot 2^{2x} \ge 0$

$7 \cdot (7^x)^2 + 5 \cdot 2^x \cdot 7^x - 2 \cdot (2^x)^2 \ge 0$

Это однородное показательное неравенство. Поскольку $2^{2x} = (2^x)^2 > 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $2^{2x}$ без изменения знака неравенства:

$7 \cdot \frac{(7^x)^2}{(2^x)^2} + 5 \cdot \frac{2^x \cdot 7^x}{(2^x)^2} - 2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} \ge 0$

$7 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^x - 2 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{7}{2}\right)^x$. Так как основание степени $\frac{7}{2} > 0$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$7t^2 + 5t - 2 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7t^2 + 5t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$ и $t_2 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.

Парабола $y = 7t^2 + 5t - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому решение неравенства $7t^2 + 5t - 2 \ge 0$ есть объединение промежутков $t \le -1$ и $t \ge \frac{2}{7}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge \frac{2}{7}$.

Выполним обратную замену:

$\left(\frac{7}{2}\right)^x \ge \frac{2}{7}$

Представим правую часть с тем же основанием: $\frac{2}{7} = \left(\frac{7}{2}\right)^{-1}$.

$\left(\frac{7}{2}\right)^x \ge \left(\frac{7}{2}\right)^{-1}$

Так как основание степени $\frac{7}{2} > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \ge -1$

Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

2) $15 \cdot 25^{-\frac{1}{x}} - 16 \cdot 15^{-\frac{1}{x}} < 15 \cdot 9^{-\frac{1}{x}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Преобразуем неравенство, представив основания степеней через простые множители 3 и 5, и перенесем все члены в левую часть:

$15 \cdot (5^2)^{-\frac{1}{x}} - 16 \cdot (3 \cdot 5)^{-\frac{1}{x}} - 15 \cdot (3^2)^{-\frac{1}{x}} < 0$

$15 \cdot 5^{-\frac{2}{x}} - 16 \cdot 3^{-\frac{1}{x}} \cdot 5^{-\frac{1}{x}} - 15 \cdot 3^{-\frac{2}{x}} < 0$

Это однородное показательное неравенство. Поскольку $9^{-\frac{1}{x}} = 3^{-\frac{2}{x}} > 0$ для любого $x$ из ОДЗ, разделим обе части неравенства на $3^{-\frac{2}{x}}$:

$15 \cdot \frac{5^{-\frac{2}{x}}}{3^{-\frac{2}{x}}} - 16 \cdot \frac{3^{-\frac{1}{x}} \cdot 5^{-\frac{1}{x}}}{3^{-\frac{2}{x}}} - 15 \cdot \frac{3^{-\frac{2}{x}}}{3^{-\frac{2}{x}}} < 0$

$15 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{2}{x}} - 16 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} - 15 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{1}{x}}$. Так как основание степени $\frac{5}{3} > 0$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$15t^2 - 16t - 15 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $15t^2 - 16t - 15 = 0$.

Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156 = 34^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{16 - 34}{2 \cdot 15} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}$ и $t_2 = \frac{16 + 34}{2 \cdot 15} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$.

Парабола $y = 15t^2 - 16t - 15$ направлена ветвями вверх, поэтому решение неравенства $15t^2 - 16t - 15 < 0$ есть интервал $t_1 < t < t_2$, то есть $-\frac{3}{5} < t < \frac{5}{3}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{5}{3}$.

Выполним обратную замену. Неравенство $t > 0$, то есть $\left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} > 0$, выполняется для любых $x$ из ОДЗ. Остается решить неравенство $t < \frac{5}{3}$:

$\left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} < \frac{5}{3}$

$\left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} < \left(\frac{5}{3}\right)^1$

Так как основание степени $\frac{5}{3} > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-\frac{1}{x} < 1$

Перенесем все в одну часть и приведем к общему знаменателю:

$0 < 1 + \frac{1}{x}$

$\frac{x+1}{x} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -1$. Нуль знаменателя: $x = 0$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак дроби $\frac{x+1}{x}$ на каждом интервале. Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. Это выполняется, когда числитель и знаменатель одного знака:

1. Оба положительны: $x+1 > 0$ и $x > 0$, что дает $x > 0$.

2. Оба отрицательны: $x+1 < 0$ и $x < 0$, что дает $x < -1$.

Объединяя эти два случая, получаем решение $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

23. Найдите:

1) $log_3 81$

2) $log_{16} \frac{1}{16}$;

3) $log_{23} 1$;

4) $log_{19} 19$;

5) $log_2 0.25$;

6) $log_{27} 3$;

7) $\lg 0.0001$;

8) $log_8 16$;

9) $log_{0.2} 125$.

1) Логарифм $\log_3 81$ — это степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 81. Обозначим эту степень за $x$: $\log_3 81 = x$, что эквивалентно $3^x = 81$.
Поскольку $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$, то искомая степень равна 4.
Таким образом, $\log_3 81 = 4$.
Ответ: 4

2) Найдем $\log_{16} \frac{1}{16}$. Это степень, в которую нужно возвести 16, чтобы получить $\frac{1}{16}$.
По свойству степеней с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем $16^{-1} = \frac{1}{16}$.
Следовательно, $\log_{16} \frac{1}{16} = -1$.
Ответ: -1

3) Найдем $\log_{23} 1$. Это степень, в которую нужно возвести 23, чтобы получить 1.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$.
Значит, $23^0 = 1$, и $\log_{23} 1 = 0$.
Ответ: 0

4) Найдем $\log_{19} 19$. Это степень, в которую нужно возвести 19, чтобы получить 19.
Любое число в первой степени равно самому себе: $a^1 = a$.
Значит, $19^1 = 19$, и $\log_{19} 19 = 1$.
Ответ: 1

5) Найдем $\log_2 0,25$. Сначала представим десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби, а затем в виде степени с основанием 2.
$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Тогда $\log_2 0,25 = \log_2 (2^{-2})$. По свойству логарифма $\log_a(a^p) = p$, получаем, что $\log_2(2^{-2}) = -2$.
Ответ: -2

6) Найдем $\log_{27} 3$. Обозначим этот логарифм за $x$: $\log_{27} 3 = x$.
По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $27^x = 3$.
Мы знаем, что $27 = 3^3$. Подставим это в уравнение: $(3^3)^x = 3$.
По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $3^{3x} = 3^1$.
Приравнивая показатели степеней, имеем $3x = 1$, откуда $x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

7) Запись $\lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Итак, нам нужно найти $\lg 0,0001 = \log_{10} 0,0001$.
Представим 0,0001 в виде степени числа 10: $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.
Следовательно, $\log_{10} 0,0001 = \log_{10} (10^{-4}) = -4$.
Ответ: -4

8) Найдем $\log_8 16$. Обозначим этот логарифм за $x$: $\log_8 16 = x$, что равносильно $8^x = 16$.
Чтобы решить это уравнение, представим основание 8 и число 16 как степени одного и того же числа. Оба числа являются степенями двойки: $8=2^3$ и $16=2^4$.
Подставим в уравнение: $(2^3)^x = 2^4$.
Упростим левую часть: $2^{3x} = 2^4$.
Теперь приравняем показатели степеней: $3x = 4$, откуда $x = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

9) Найдем $\log_{0,2} 125$. Пусть $\log_{0,2} 125 = x$. Это означает, что $(0,2)^x = 125$.
Преобразуем основание логарифма: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Число 125 также является степенью пятерки: $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в уравнение: $(5^{-1})^x = 5^3$.
Упростим левую часть: $5^{-x} = 5^3$.
Приравнивая показатели, получаем $-x = 3$, следовательно, $x = -3$.
Ответ: -3