Страница 65 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. Игральный кубик бросают девять раз. Какова вероятность того, что нечётное число выпадет:

1) четыре раза;

2) не более двух раз;

3) больше шести раз?

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли, так как бросание кубика представляет собой серию независимых испытаний с двумя исходами (выпало нечётное число или выпало чётное число).

Определим основные параметры для решения:

- Количество испытаний (бросков): $n = 9$.
- "Успехом" будем считать выпадение нечётного числа. На игральном кубике 3 нечётных грани (1, 3, 5) из 6 возможных.
- Вероятность "успеха" в одном испытании: $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
- "Неудачей" будем считать выпадение чётного числа.
- Вероятность "неудачи" в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Для нашей задачи формула принимает вид:

$P_9(k) = C_9^k \cdot (\frac{1}{2})^k \cdot (\frac{1}{2})^{9-k} = C_9^k \cdot (\frac{1}{2})^9 = \frac{C_9^k}{512}$

Теперь решим каждый пункт задачи.

1) четыре раза;

Требуется найти вероятность того, что нечётное число выпадет ровно 4 раза. Это означает, что $k=4$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_9^4$:

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.

Подставим значение в формулу вероятности:

$P_9(4) = \frac{C_9^4}{512} = \frac{126}{512}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P_9(4) = \frac{63}{256}$.

Ответ: $\frac{63}{256}$.

2) не более двух раз;

Событие "не более двух раз" означает, что нечётное число выпадет 0, 1 или 2 раза. Для нахождения этой вероятности нужно сложить вероятности каждого из этих исходов:

$P(k \le 2) = P_9(0) + P_9(1) + P_9(2)$.

Рассчитаем каждую вероятность отдельно:
- Вероятность, что нечётное число не выпадет ни разу ($k=0$): $P_9(0) = \frac{C_9^0}{512} = \frac{1}{512}$.
- Вероятность, что нечётное число выпадет один раз ($k=1$): $P_9(1) = \frac{C_9^1}{512} = \frac{9}{512}$.
- Вероятность, что нечётное число выпадет два раза ($k=2$): $P_9(2) = \frac{C_9^2}{512} = \frac{\frac{9 \cdot 8}{2}}{512} = \frac{36}{512}$.

Теперь сложим эти вероятности:

$P(k \le 2) = \frac{1}{512} + \frac{9}{512} + \frac{36}{512} = \frac{1+9+36}{512} = \frac{46}{512}$.

Сократим дробь на 2:

$P(k \le 2) = \frac{23}{256}$.

Ответ: $\frac{23}{256}$.

3) больше шести раз?

Событие "больше шести раз" означает, что нечётное число выпадет 7, 8 или 9 раз. Найдём сумму вероятностей этих исходов:

$P(k > 6) = P_9(7) + P_9(8) + P_9(9)$.

Рассчитаем каждую вероятность, используя свойство симметрии биномиальных коэффициентов ($C_n^k = C_n^{n-k}$):
- Вероятность для $k=7$: $C_9^7 = C_9^{9-7} = C_9^2 = 36$. Тогда $P_9(7) = \frac{36}{512}$.
- Вероятность для $k=8$: $C_9^8 = C_9^{9-8} = C_9^1 = 9$. Тогда $P_9(8) = \frac{9}{512}$.
- Вероятность для $k=9$: $C_9^9 = C_9^{9-9} = C_9^0 = 1$. Тогда $P_9(9) = \frac{1}{512}$.

Сложим полученные вероятности:

$P(k > 6) = \frac{36}{512} + \frac{9}{512} + \frac{1}{512} = \frac{36+9+1}{512} = \frac{46}{512}$.

Сократим дробь на 2:

$P(k > 6) = \frac{23}{256}$.

Ответ: $\frac{23}{256}$.

168. Что более вероятно: выиграть у равноценного игрока две партии из трёх или четыре партии из семи?

Для того чтобы определить, какое из двух событий более вероятно, необходимо рассчитать вероятность каждого из них и сравнить полученные значения. Для этого воспользуемся формулой Бернулли, которая позволяет найти вероятность $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний, $p$ — вероятность успеха (выигрыша) в одном испытании, а $q = 1 - p$ — вероятность неудачи (проигрыша).

По условию задачи, игроки равноценны, следовательно, вероятность выигрыша в одной партии равна вероятности проигрыша: $p = q = 0.5$.

Выиграть две партии из трёх

В этом случае общее число испытаний $n = 3$, а число желаемых успехов (выигрышей) $k = 2$. Рассчитаем вероятность этого события, обозначив её $P_A$.

Сначала найдём число сочетаний:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3$

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_A = C_3^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{3-2} = 3 \cdot (0.5)^3 = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

Выиграть четыре партии из семи

В этом случае общее число испытаний $n = 7$, а число желаемых успехов $k = 4$. Рассчитаем вероятность этого события, обозначив её $P_B$.

Сначала найдём число сочетаний:

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_B = C_7^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{7-4} = 35 \cdot (0.5)^7 = 35 \cdot \frac{1}{128} = \frac{35}{128}$

Сравнение вероятностей

Теперь нам нужно сравнить полученные вероятности: $P_A = \frac{3}{8}$ и $P_B = \frac{35}{128}$.

Для сравнения приведём дробь $\frac{3}{8}$ к общему знаменателю 128:

$P_A = \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 16}{8 \cdot 16} = \frac{48}{128}$

Сравнивая числители, получаем:

$48 > 35$

Следовательно, $\frac{48}{128} > \frac{35}{128}$, что означает $P_A > P_B$.

Таким образом, выиграть две партии из трёх у равноценного игрока более вероятно, чем выиграть у него четыре партии из семи.

Ответ: Более вероятно выиграть две партии из трёх.

169. По таблице распределения вероятностей случайной величины $x$ найдите значение переменной $a$.

1) Значение $x$: 2, 4, 6, 8, 10

Вероятность, %: 0,15, 0,15, $2a$, 0,15, $a$

2) Значение $x$: $x_0$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$

Вероятность, %: $a$, 17, 19, 27, 24, 11

1)

Основное свойство распределения вероятностей случайной величины заключается в том, что сумма вероятностей всех возможных значений должна быть равна 1. В данном случае значения вероятностей представлены в виде десятичных дробей, поэтому их сумма должна равняться единице.

Составим уравнение, сложив все вероятности из таблицы: $0,15 + 0,15 + 2a + 0,15 + a = 1$

Упростим уравнение, сгруппировав и сложив известные числовые значения и слагаемые с переменной $a$: $(0,15 + 0,15 + 0,15) + (2a + a) = 1$ $0,45 + 3a = 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$: $3a = 1 - 0,45$ $3a = 0,55$ $a = \frac{0,55}{3}$

Для получения точного значения представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $a = \frac{55/100}{3} = \frac{55}{300}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5: $a = \frac{55 \div 5}{300 \div 5} = \frac{11}{60}$

Ответ: $a = \frac{11}{60}$.

2)

В этой таблице вероятности указаны в процентах, на что указывают целочисленные значения (17, 19 и т.д.) и заголовок строки "Вероятность, %". Сумма всех вероятностей, выраженных в процентах, должна быть равна 100%.

Составим уравнение, просуммировав все процентные значения вероятностей из таблицы: $a + 17 + 19 + 27 + 24 + 11 = 100$

Найдем сумму известных процентов: $17 + 19 + 27 + 24 + 11 = 36 + 27 + 24 + 11 = 63 + 24 + 11 = 87 + 11 = 98$

Подставим полученную сумму в уравнение: $a + 98 = 100$

Найдем значение $a$: $a = 100 - 98$ $a = 2$

Ответ: $a = 2$.

170. Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Найдите:

1) $P (x = 0)$;

2) $P (x = 2)$;

3) $P (x \ge 7)$;

4) $P (x < 7)$;

5) $P (1 \le x < 10)$.

Данная таблица представляет собой закон распределения дискретной случайной величины $x$. Вероятности в таблице указаны в процентах. Для проведения расчетов переведем их в десятичные дроби, разделив на 100.

$P(x=0) = 9\% = 0,09$
$P(x=1) = 17\% = 0,17$
$P(x=3) = 24\% = 0,24$
$P(x=7) = 35\% = 0,35$
$P(x=10) = 7\% = 0,07$
$P(x=14) = 8\% = 0,08$

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $0,09 + 0,17 + 0,24 + 0,35 + 0,07 + 0,08 = 1,00$. Условие нормировки выполняется.

1) P (x = 0);

Вероятность того, что случайная величина $x$ примет значение 0, указана непосредственно в таблице распределения.

$P(x = 0) = 0,09$.

Ответ: 0,09.

2) P (x = 2);

Случайная величина $x$ может принимать только значения из заданного множества: $\{0, 1, 3, 7, 10, 14\}$. Значение $x=2$ не входит в это множество. Следовательно, событие $x=2$ является невозможным, и его вероятность равна 0.

$P(x = 2) = 0$.

Ответ: 0.

3) P (x ≥ 7);

Событие $x \ge 7$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, большее или равное 7. Из таблицы возможных значений этому условию удовлетворяют $x=7, x=10$ и $x=14$. Так как эти события несовместны, искомая вероятность равна сумме их вероятностей.

$P(x \ge 7) = P(x=7) + P(x=10) + P(x=14) = 0,35 + 0,07 + 0,08 = 0,50$.

Ответ: 0,50.

4) P (x < 7);

Событие $x < 7$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, строго меньшее 7. Из таблицы возможных значений этому условию удовлетворяют $x=0, x=1$ и $x=3$. Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих несовместных событий.

$P(x < 7) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=3) = 0,09 + 0,17 + 0,24 = 0,50$.

Ответ: 0,50.

5) P (1 ≤ x < 10).

Событие $1 \le x < 10$ означает, что случайная величина $x$ принимает значение, которое больше или равно 1 и строго меньше 10. Из таблицы возможных значений этому условию удовлетворяют $x=1, x=3$ и $x=7$. Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих несовместных событий.

$P(1 \le x < 10) = P(x=1) + P(x=3) + P(x=7) = 0,17 + 0,24 + 0,35 = 0,76$.

Ответ: 0,76.

171. Имеются две колоды, в каждой из которых лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 4. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. В этом испытании изучают случайную величину, равную произведению чисел на выбранных карточках. Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Пусть $n_1$ — число на карточке, выбранной из первой колоды, а $n_2$ — число на карточке, выбранной из второй колоды. В каждой колоде находятся карточки с номерами {1, 2, 4}. Выбор карточки из каждой колоды является независимым событием.

Всего возможных исходов (пар чисел) $3 \times 3 = 9$. Поскольку выбор каждой карточки равновероятен (с вероятностью $\frac{1}{3}$), то каждый из 9 исходов также равновероятен, и его вероятность равна $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Случайная величина $X$ равна произведению чисел на выбранных карточках ($X = n_1 \times n_2$). Найдем все возможные значения $X$ и их вероятности. Для наглядности составим таблицу произведений всех возможных комбинаций чисел:

Из таблицы видно, что случайная величина $X$ может принимать значения {1, 2, 4, 8, 16}. Теперь подсчитаем, сколько раз каждое значение встречается в таблице, чтобы найти его вероятность. Поскольку каждый из 9 исходов имеет вероятность $\frac{1}{9}$, вероятность каждого значения $X$ будет равна $\frac{k}{9}$, где $k$ — количество раз, которое это значение встречается в таблице.

• Значение $X=1$ встречается 1 раз (комбинация 1×1). Вероятность: $P(X=1) = \frac{1}{9}$.
• Значение $X=2$ встречается 2 раза (комбинации 1×2 и 2×1). Вероятность: $P(X=2) = \frac{2}{9}$.
• Значение $X=4$ встречается 3 раза (комбинации 1×4, 2×2 и 4×1). Вероятность: $P(X=4) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
• Значение $X=8$ встречается 2 раза (комбинации 2×4 и 4×2). Вероятность: $P(X=8) = \frac{2}{9}$.
• Значение $X=16$ встречается 1 раз (комбинация 4×4). Вероятность: $P(X=16) = \frac{1}{9}$.

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1+2+3+2+1}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Итоговая таблица распределения вероятностей для случайной величины $X$ выглядит следующим образом.

Ответ: