Номер 168, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Что более вероятно: выиграть у равноценного игрока две партии из трёх или четыре партии из семи?

Для того чтобы определить, какое из двух событий более вероятно, необходимо рассчитать вероятность каждого из них и сравнить полученные значения. Для этого воспользуемся формулой Бернулли, которая позволяет найти вероятность $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний, $p$ — вероятность успеха (выигрыша) в одном испытании, а $q = 1 - p$ — вероятность неудачи (проигрыша).

По условию задачи, игроки равноценны, следовательно, вероятность выигрыша в одной партии равна вероятности проигрыша: $p = q = 0.5$.

Выиграть две партии из трёх

В этом случае общее число испытаний $n = 3$, а число желаемых успехов (выигрышей) $k = 2$. Рассчитаем вероятность этого события, обозначив её $P_A$.

Сначала найдём число сочетаний:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3$

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_A = C_3^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{3-2} = 3 \cdot (0.5)^3 = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

Выиграть четыре партии из семи

В этом случае общее число испытаний $n = 7$, а число желаемых успехов $k = 4$. Рассчитаем вероятность этого события, обозначив её $P_B$.

Сначала найдём число сочетаний:

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_B = C_7^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{7-4} = 35 \cdot (0.5)^7 = 35 \cdot \frac{1}{128} = \frac{35}{128}$

Сравнение вероятностей

Теперь нам нужно сравнить полученные вероятности: $P_A = \frac{3}{8}$ и $P_B = \frac{35}{128}$.

Для сравнения приведём дробь $\frac{3}{8}$ к общему знаменателю 128:

$P_A = \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 16}{8 \cdot 16} = \frac{48}{128}$

Сравнивая числители, получаем:

$48 > 35$

Следовательно, $\frac{48}{128} > \frac{35}{128}$, что означает $P_A > P_B$.

Таким образом, выиграть две партии из трёх у равноценного игрока более вероятно, чем выиграть у него четыре партии из семи.

Ответ: Более вероятно выиграть две партии из трёх.