Номер 164, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Монету подбрасывают 7 раз. Какова вероятность того, что цифра:

1) выпадет два раза;

2) не выпадет ни одного раза;

3) выпадет меньше двух раз;

4) выпадет не менее двух раз?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, так как мы имеем дело с серией независимых испытаний (подбрасывание монеты) с двумя исходами (цифра или орел).

Формула Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где

• $n$ – общее число испытаний;
• $k$ – число наступлений события (выпадение цифры);
• $p$ – вероятность наступления события в одном испытании;
• $q$ – вероятность ненаступления события ($q = 1-p$);
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

В нашем случае:

• $n=7$ (монету подбрасывают 7 раз).
• Событие – выпадение "цифры".
• Вероятность выпадения цифры $p = 1/2$.
• Вероятность невыпадения цифры (выпадение орла) $q = 1 - 1/2 = 1/2$.

Общее число всех возможных исходов при 7 подбрасываниях равно $2^7 = 128$.

1) выпадет два раза;
Ищем вероятность того, что цифра выпадет ровно $k=2$ раза. Число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 7 по 2: $C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{6 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 21$. Вероятность этого события: $P_7(2) = \frac{C_7^2}{2^7} = \frac{21}{128}$.
Ответ: $\frac{21}{128}$

2) не выпадет ни одного раза;
Ищем вероятность того, что цифра выпадет $k=0$ раз. Это означает, что все 7 раз выпал орел. Такой исход только один. По формуле: $C_7^0 = \frac{7!}{0!(7-0)!} = \frac{7!}{1 \cdot 7!} = 1$. Вероятность этого события: $P_7(0) = \frac{C_7^0}{2^7} = \frac{1}{128}$.
Ответ: $\frac{1}{128}$

3) выпадет меньше двух раз;
Событие "выпадет меньше двух раз" означает, что цифра выпадет 0 раз или 1 раз. Эти события несовместны, поэтому их вероятности можно сложить. $P(\text{меньше 2}) = P_7(0) + P_7(1)$. Вероятность $P_7(0)$ мы уже нашли, она равна $\frac{1}{128}$. Найдем вероятность $P_7(1)$ (цифра выпадет ровно 1 раз): $C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1 \cdot 6!} = 7$. $P_7(1) = \frac{C_7^1}{2^7} = \frac{7}{128}$. Теперь сложим вероятности: $P(\text{меньше 2}) = \frac{1}{128} + \frac{7}{128} = \frac{8}{128} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$

4) выпадет не менее двух раз?
Событие "выпадет не менее двух раз" является противоположным событию "выпадет меньше двух раз". Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. $P(\text{не менее 2}) = 1 - P(\text{меньше 2})$. Вероятность $P(\text{меньше 2})$ мы нашли в предыдущем пункте, она равна $\frac{8}{128}$. $P(\text{не менее 2}) = 1 - \frac{8}{128} = \frac{128}{128} - \frac{8}{128} = \frac{120}{128}$. Сократим дробь на 8: $\frac{120}{128} = \frac{15}{16}$.
Ответ: $\frac{15}{16}$