Номер 161, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Два ученика независимо друг от друга решают одну задачу. Первый ученик может решить эту задачу с вероятностью 0,8, а второй — 0,9. Найдите вероятность того, что:

1) оба ученика решат задачу;

2) ни один из учеников не решит задачу;

3) хотя бы один из учеников решит задачу;

4) только один из учеников решит задачу.

Обозначим события:

A = {первый ученик решит задачу}

B = {второй ученик решит задачу}

По условию, вероятности этих событий равны:

$P(A) = 0,8$

$P(B) = 0,9$

Также найдем вероятности противоположных событий (что ученики не решат задачу):

$\bar{A}$ = {первый ученик не решит задачу}, вероятность которого $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2$

$\bar{B}$ = {второй ученик не решит задачу}, вероятность которого $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,9 = 0,1$

Поскольку ученики решают задачу независимо друг от друга, для нахождения вероятности совместного наступления событий мы будем перемножать их вероятности.

1) оба ученика решат задачу;

Это событие означает, что произойдут и событие A, и событие B. Вероятность этого равна произведению вероятностей этих событий:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,8 \times 0,9 = 0,72$

Ответ: 0,72

2) ни один из учеников не решит задачу;

Это событие означает, что произойдут и событие $\bar{A}$, и событие $\bar{B}$. Вероятность этого равна произведению вероятностей противоположных событий:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,2 \times 0,1 = 0,02$

Ответ: 0,02

3) хотя бы один из учеников решит задачу;

Событие "хотя бы один решит" является противоположным событию "ни один не решит". Поэтому его вероятность можно найти, вычтя из единицы вероятность того, что ни один ученик не решит задачу (которую мы нашли в пункте 2):

$P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни один не решит}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,02 = 0,98$

Ответ: 0,98

4) только один из учеников решит задачу.

Это событие означает, что либо первый ученик решит задачу, а второй нет, либо первый не решит, а второй решит. Это сумма двух несовместных событий:

1. Первый решил, второй не решил: $P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0,8 \times 0,1 = 0,08$

2. Первый не решил, второй решил: $P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B) = 0,2 \times 0,9 = 0,18$

Общая вероятность равна сумме вероятностей этих двух исходов:

$P(\text{только один}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = 0,08 + 0,18 = 0,26$

Ответ: 0,26