Номер 163, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. По мишени стреляют 10 раз. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $ \frac{5}{7} $. Какова вероятность того, что в десяти выстрелах будет сделано три промаха?

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли, которая применяется для последовательности независимых испытаний с двумя возможными исходами.

Формула Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $n$ – общее число испытаний, $k$ – число наступлений интересующего события («успеха»), $p$ – вероятность «успеха» в одном испытании, $q = 1-p$ – вероятность противоположного события («неудачи»), а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

В условиях задачи:

• Общее число выстрелов (испытаний) $n = 10$.
• Мы ищем вероятность того, что будет сделано ровно 3 промаха. Будем считать «успехом» промах. Таким образом, число «успехов» $k = 3$.

Найдем вероятности «успеха» и «неудачи» для одного выстрела:

• Вероятность попадания в мишень равна $\frac{5}{7}$. Это будет вероятность «неудачи», так как «успех» — это промах. Итак, $q = \frac{5}{7}$.
• Вероятность промаха («успеха») в одном выстреле $p$ равна $1 - q$:

$p = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли. Нам нужно найти вероятность 3 промахов ($k=3$) в 10 выстрелах ($n=10$):

$P_{10}(3) = C_{10}^3 \cdot (\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{5}{7})^{10-3} = C_{10}^3 \cdot (\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{5}{7})^7$

Вычислим число сочетаний $C_{10}^3$:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Подставим полученное значение в формулу и проведем вычисления:

$P_{10}(3) = 120 \cdot (\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{5}{7})^7 = 120 \cdot \frac{2^3}{7^3} \cdot \frac{5^7}{7^7} = \frac{120 \cdot 2^3 \cdot 5^7}{7^{10}}$

Упростим числитель:

$120 \cdot 2^3 = 120 \cdot 8 = 960$

Таким образом, искомая вероятность равна:

$P_{10}(3) = \frac{960 \cdot 5^7}{7^{10}}$

Это точный ответ. Можно также вычислить полное числовое значение дроби:

$P_{10}(3) = \frac{960 \cdot 78125}{282475249} = \frac{75000000}{282475249} \approx 0.2655$

Ответ: $ \frac{960 \cdot 5^7}{7^{10}} $