Номер 167, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. Игральный кубик бросают девять раз. Какова вероятность того, что нечётное число выпадет:

1) четыре раза;

2) не более двух раз;

3) больше шести раз?

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли, так как бросание кубика представляет собой серию независимых испытаний с двумя исходами (выпало нечётное число или выпало чётное число).

Определим основные параметры для решения:

- Количество испытаний (бросков): $n = 9$.
- "Успехом" будем считать выпадение нечётного числа. На игральном кубике 3 нечётных грани (1, 3, 5) из 6 возможных.
- Вероятность "успеха" в одном испытании: $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
- "Неудачей" будем считать выпадение чётного числа.
- Вероятность "неудачи" в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Для нашей задачи формула принимает вид:

$P_9(k) = C_9^k \cdot (\frac{1}{2})^k \cdot (\frac{1}{2})^{9-k} = C_9^k \cdot (\frac{1}{2})^9 = \frac{C_9^k}{512}$

Теперь решим каждый пункт задачи.

1) четыре раза;

Требуется найти вероятность того, что нечётное число выпадет ровно 4 раза. Это означает, что $k=4$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_9^4$:

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.

Подставим значение в формулу вероятности:

$P_9(4) = \frac{C_9^4}{512} = \frac{126}{512}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P_9(4) = \frac{63}{256}$.

Ответ: $\frac{63}{256}$.

2) не более двух раз;

Событие "не более двух раз" означает, что нечётное число выпадет 0, 1 или 2 раза. Для нахождения этой вероятности нужно сложить вероятности каждого из этих исходов:

$P(k \le 2) = P_9(0) + P_9(1) + P_9(2)$.

Рассчитаем каждую вероятность отдельно:
- Вероятность, что нечётное число не выпадет ни разу ($k=0$): $P_9(0) = \frac{C_9^0}{512} = \frac{1}{512}$.
- Вероятность, что нечётное число выпадет один раз ($k=1$): $P_9(1) = \frac{C_9^1}{512} = \frac{9}{512}$.
- Вероятность, что нечётное число выпадет два раза ($k=2$): $P_9(2) = \frac{C_9^2}{512} = \frac{\frac{9 \cdot 8}{2}}{512} = \frac{36}{512}$.

Теперь сложим эти вероятности:

$P(k \le 2) = \frac{1}{512} + \frac{9}{512} + \frac{36}{512} = \frac{1+9+36}{512} = \frac{46}{512}$.

Сократим дробь на 2:

$P(k \le 2) = \frac{23}{256}$.

Ответ: $\frac{23}{256}$.

3) больше шести раз?

Событие "больше шести раз" означает, что нечётное число выпадет 7, 8 или 9 раз. Найдём сумму вероятностей этих исходов:

$P(k > 6) = P_9(7) + P_9(8) + P_9(9)$.

Рассчитаем каждую вероятность, используя свойство симметрии биномиальных коэффициентов ($C_n^k = C_n^{n-k}$):
- Вероятность для $k=7$: $C_9^7 = C_9^{9-7} = C_9^2 = 36$. Тогда $P_9(7) = \frac{36}{512}$.
- Вероятность для $k=8$: $C_9^8 = C_9^{9-8} = C_9^1 = 9$. Тогда $P_9(8) = \frac{9}{512}$.
- Вероятность для $k=9$: $C_9^9 = C_9^{9-9} = C_9^0 = 1$. Тогда $P_9(9) = \frac{1}{512}$.

Сложим полученные вероятности:

$P(k > 6) = \frac{36}{512} + \frac{9}{512} + \frac{1}{512} = \frac{36+9+1}{512} = \frac{46}{512}$.

Сократим дробь на 2:

$P(k > 6) = \frac{23}{256}$.

Ответ: $\frac{23}{256}$.