Номер 174, страница 66 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 80%. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, равной количеству попаданий стрелка в мишень в серии, состоящей из шести выстрелов. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Таблица распределения вероятностей

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству попаданий стрелка в мишень в серии из 6 выстрелов. Данная серия выстрелов является последовательностью из $n=6$ независимых испытаний (схема Бернулли). Вероятность успеха (попадания) в каждом испытании постоянна и равна $p=80\%=0.8$.

Следовательно, случайная величина $X$ имеет биномиальное распределение. Вероятность промаха в одном испытании равна $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Возможные значения случайной величины $X$ (число попаданий) — $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Рассчитаем вероятности для каждого значения $k$:
$P(X=0) = C_6^0 \cdot (0.8)^0 \cdot (0.2)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.000064 = 0.000064$
$P(X=1) = C_6^1 \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^5 = 6 \cdot 0.8 \cdot 0.00032 = 0.001536$
$P(X=2) = C_6^2 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^4 = 15 \cdot 0.64 \cdot 0.0016 = 0.01536$
$P(X=3) = C_6^3 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^3 = 20 \cdot 0.512 \cdot 0.008 = 0.08192$
$P(X=4) = C_6^4 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^2 = 15 \cdot 0.4096 \cdot 0.04 = 0.24576$
$P(X=5) = C_6^5 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^1 = 6 \cdot 0.32768 \cdot 0.2 = 0.393216$
$P(X=6) = C_6^6 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^0 = 1 \cdot 0.262144 \cdot 1 = 0.262144$

Составим таблицу распределения вероятностей (закон распределения) для случайной величины $X$:

Проверка: сумма вероятностей всех возможных исходов должна быть равна 1.
$0.000064 + 0.001536 + 0.01536 + 0.08192 + 0.24576 + 0.393216 + 0.262144 = 1$.

Ответ: Таблица распределения вероятностей представлена выше.

Математическое ожидание

Математическое ожидание (среднее значение) для случайной величины, имеющей биномиальное распределение, вычисляется по простой формуле:
$E(X) = n \cdot p$

В данной задаче:
$n = 6$ (количество выстрелов)
$p = 0.8$ (вероятность попадания)

Подставим значения в формулу:
$E(X) = 6 \cdot 0.8 = 4.8$

Таким образом, математическое ожидание числа попаданий в серии из шести выстрелов равно 4.8. Это означает, что в среднем стрелок будет попадать 4.8 раза за каждую серию из 6 выстрелов.

Ответ: 4.8.