Номер 2, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Упростите выражение:

1) $(a\sqrt{2} - 6)(a\sqrt{2} + 6) - (a\sqrt{2} - 1)^2;$

2) $\frac{a^2\sqrt{3} - 2a\sqrt{3}}{a^2\sqrt{3} - 4}.$

1) Для упрощения выражения $(a^{\sqrt{2}} - 6)(a^{\sqrt{2}} + 6) - (a^{\sqrt{2}} - 1)^2$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ и квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первая часть выражения, $(a^{\sqrt{2}} - 6)(a^{\sqrt{2}} + 6)$, является произведением разности и суммы. Применим формулу разности квадратов, где $x = a^{\sqrt{2}}$ и $y = 6$:
$(a^{\sqrt{2}} - 6)(a^{\sqrt{2}} + 6) = (a^{\sqrt{2}})^2 - 6^2 = a^{2\sqrt{2}} - 36$.
Вторая часть, $(a^{\sqrt{2}} - 1)^2$, является квадратом разности. Применим соответствующую формулу, где $x = a^{\sqrt{2}}$ и $y = 1$:
$(a^{\sqrt{2}} - 1)^2 = (a^{\sqrt{2}})^2 - 2 \cdot a^{\sqrt{2}} \cdot 1 + 1^2 = a^{2\sqrt{2}} - 2a^{\sqrt{2}} + 1$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$(a^{2\sqrt{2}} - 36) - (a^{2\sqrt{2}} - 2a^{\sqrt{2}} + 1)$.
Раскроем скобки, помня, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные:
$a^{2\sqrt{2}} - 36 - a^{2\sqrt{2}} + 2a^{\sqrt{2}} - 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^{2\sqrt{2}} - a^{2\sqrt{2}}) + 2a^{\sqrt{2}} + (-36 - 1) = 0 + 2a^{\sqrt{2}} - 37 = 2a^{\sqrt{2}} - 37$.
Ответ: $2a^{\sqrt{2}} - 37$.

2) Для упрощения дроби $\frac{a^{2\sqrt{3}} - 2a^{\sqrt{3}}}{a^{2\sqrt{3}} - 4}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе $a^{2\sqrt{3}} - 2a^{\sqrt{3}}$ вынесем общий множитель $a^{\sqrt{3}}$ за скобки:
$a^{2\sqrt{3}} - 2a^{\sqrt{3}} = a^{\sqrt{3}}(a^{\sqrt{3}} - 2)$.
В знаменателе $a^{2\sqrt{3}} - 4$ представим $a^{2\sqrt{3}}$ как $(a^{\sqrt{3}})^2$ и $4$ как $2^2$. Получим разность квадратов:
$a^{2\sqrt{3}} - 4 = (a^{\sqrt{3}})^2 - 2^2 = (a^{\sqrt{3}} - 2)(a^{\sqrt{3}} + 2)$.
Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{a^{\sqrt{3}}(a^{\sqrt{3}} - 2)}{(a^{\sqrt{3}} - 2)(a^{\sqrt{3}} + 2)}$.
Сократим общий множитель $(a^{\sqrt{3}} - 2)$:
$\frac{a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + 2}$.
Ответ: $\frac{a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + 2}$.