Номер 1, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите значение выражения:

1) $7(\sqrt{2}-1)^2 \cdot 72\sqrt{2}$;

2) $10\sqrt{32} : 1000\sqrt{2}$;

3) $((\sqrt[5]{2})^{\sqrt{15}})^{\sqrt{15}}$

1) Для нахождения значения выражения $7^{(\sqrt{2}-1)^2} \cdot 7^{2\sqrt{2}}$ воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
Сначала упростим показатель первой степени, раскрыв скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$.
Теперь сложим показатели степеней:
$(3 - 2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 3$.
Таким образом, исходное выражение равно $7^3$.
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
Ответ: 343.

2) Для нахождения значения выражения $10^{\sqrt{32}} : 1000^{\sqrt{2}}$ приведем степени к одному основанию. Основание $1000$ можно представить как $10^3$.
$1000^{\sqrt{2}} = (10^3)^{\sqrt{2}} = 10^{3\sqrt{2}}$.
Теперь упростим показатель степени у первого числа: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Выражение принимает вид: $10^{4\sqrt{2}} : 10^{3\sqrt{2}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):
$10^{4\sqrt{2} - 3\sqrt{2}} = 10^{(4-3)\sqrt{2}} = 10^{\sqrt{2}}$.
Ответ: $10^{\sqrt{2}}$.

3) Для нахождения значения выражения $((\sqrt[5]{2})^{\sqrt{15}})^{\sqrt{15}}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
$((\sqrt[5]{2})^{\sqrt{15}})^{\sqrt{15}} = (\sqrt[5]{2})^{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = (\sqrt[5]{2})^{15}$.
Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.
$\sqrt[5]{2} = 2^{1/5}$.
Теперь подставим это в наше выражение:
$(2^{1/5})^{15} = 2^{\frac{1}{5} \cdot 15} = 2^{\frac{15}{5}} = 2^3$.
$2^3 = 8$.
Ответ: 8.