Номер 171, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Имеются две колоды, в каждой из которых лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 4. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. В этом испытании изучают случайную величину, равную произведению чисел на выбранных карточках. Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Пусть $n_1$ — число на карточке, выбранной из первой колоды, а $n_2$ — число на карточке, выбранной из второй колоды. В каждой колоде находятся карточки с номерами {1, 2, 4}. Выбор карточки из каждой колоды является независимым событием.

Всего возможных исходов (пар чисел) $3 \times 3 = 9$. Поскольку выбор каждой карточки равновероятен (с вероятностью $\frac{1}{3}$), то каждый из 9 исходов также равновероятен, и его вероятность равна $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Случайная величина $X$ равна произведению чисел на выбранных карточках ($X = n_1 \times n_2$). Найдем все возможные значения $X$ и их вероятности. Для наглядности составим таблицу произведений всех возможных комбинаций чисел:

Из таблицы видно, что случайная величина $X$ может принимать значения {1, 2, 4, 8, 16}. Теперь подсчитаем, сколько раз каждое значение встречается в таблице, чтобы найти его вероятность. Поскольку каждый из 9 исходов имеет вероятность $\frac{1}{9}$, вероятность каждого значения $X$ будет равна $\frac{k}{9}$, где $k$ — количество раз, которое это значение встречается в таблице.

• Значение $X=1$ встречается 1 раз (комбинация 1×1). Вероятность: $P(X=1) = \frac{1}{9}$.
• Значение $X=2$ встречается 2 раза (комбинации 1×2 и 2×1). Вероятность: $P(X=2) = \frac{2}{9}$.
• Значение $X=4$ встречается 3 раза (комбинации 1×4, 2×2 и 4×1). Вероятность: $P(X=4) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
• Значение $X=8$ встречается 2 раза (комбинации 2×4 и 4×2). Вероятность: $P(X=8) = \frac{2}{9}$.
• Значение $X=16$ встречается 1 раз (комбинация 4×4). Вероятность: $P(X=16) = \frac{1}{9}$.

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1+2+3+2+1}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Итоговая таблица распределения вероятностей для случайной величины $X$ выглядит следующим образом.

Ответ: