Номер 3, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Сравните значения выражений:

1) $5^{1,2}$ и $5^{0,8}$;

2) $0,7^6$ и $0,7^{11}$;

3) $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{5}}$ и $1$;

4) $0,36^{-\sqrt{5}}$ и $1$;

5) $(\sqrt{3})^{-6}$ и $(\sqrt{3})^{-8}$;

6) $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^7$ и $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^9$.

Для сравнения значений выражений будем использовать свойства показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция возрастает, то есть большему значению показателя $x$ соответствует большее значение функции $y$.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает, то есть большему значению показателя $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

1) $5^{1,2}$ и $5^{0,8}$

Основание степени $a=5$ больше единицы ($5 > 1$), следовательно, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Сравниваем показатели степеней: $1,2 > 0,8$. Так как функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение. Значит, $5^{1,2} > 5^{0,8}$.

Ответ: $5^{1,2} > 5^{0,8}$

2) $0,7^6$ и $0,7^{11}$

Основание степени $a=0,7$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,7 < 1$), следовательно, показательная функция $y=0,7^x$ является убывающей. Сравниваем показатели степеней: $6 < 11$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение. Значит, $0,7^6 > 0,7^{11}$.

Ответ: $0,7^6 > 0,7^{11}$

3) $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{5}}$ и $1$

Представим $1$ как степень с основанием $\frac{2}{3}$: $1 = (\frac{2}{3})^0$. Теперь сравним $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{5}}$ и $(\frac{2}{3})^0$. Основание степени $a=\frac{2}{3}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{2}{3} < 1$), значит, функция $y=(\frac{2}{3})^x$ убывающая. Сравниваем показатели: $\frac{1}{5} > 0$. Так как функция убывающая, большему показателю соответствует меньшее значение. Следовательно, $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{5}} < (\frac{2}{3})^0$, то есть $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{5}} < 1$.

Ответ: $(\frac{2}{3})^{\frac{1}{5}} < 1$

4) $0,36^{-\sqrt{5}}$ и $1$

Представим $1$ как степень с основанием $0,36$: $1 = 0,36^0$. Сравниваем $0,36^{-\sqrt{5}}$ и $0,36^0$. Основание степени $a=0,36$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,36 < 1$), значит, функция $y=0,36^x$ убывающая. Сравниваем показатели: $-\sqrt{5} < 0$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение. Следовательно, $0,36^{-\sqrt{5}} > 0,36^0$, то есть $0,36^{-\sqrt{5}} > 1$.

Ответ: $0,36^{-\sqrt{5}} > 1$

5) $(\sqrt{3})^{-6}$ и $(\sqrt{3})^{-8}$

Основание степени $a=\sqrt{3}$ больше единицы ($\sqrt{3} \approx 1,73 > 1$), следовательно, функция $y=(\sqrt{3})^x$ является возрастающей. Сравниваем показатели степеней: $-6 > -8$. Так как функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение. Значит, $(\sqrt{3})^{-6} > (\sqrt{3})^{-8}$.

Ответ: $(\sqrt{3})^{-6} > (\sqrt{3})^{-8}$

6) $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^7$ и $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^9$

Оценим основание степени $a = \sqrt{3} - \sqrt{2}$. Так как $3>2$, то $\sqrt{3}>\sqrt{2}$, значит $\sqrt{3} - \sqrt{2} > 0$. Сравним $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ с $1$. Предположим, что $\sqrt{3} - \sqrt{2} < 1$, тогда $\sqrt{3} < 1 + \sqrt{2}$. Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 < (1 + \sqrt{2})^2$, что дает $3 < 1 + 2\sqrt{2} + 2$, или $3 < 3 + 2\sqrt{2}$, или $0 < 2\sqrt{2}$. Последнее неравенство верно. Значит, основание $a = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция $y = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^x$ является убывающей. Сравниваем показатели степеней: $7 < 9$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение. Значит, $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^7 > (\sqrt{3} - \sqrt{2})^9$.

Ответ: $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^7 > (\sqrt{3} - \sqrt{2})^9$