Номер 8, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Постройте график функции:

1) $y = 4^x - 5;$

2) $y = 4^{x-3};$

3) $y = 6 - 4^x;$

4) $y = |4^x - 1|.$

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразований графика базовой показательной функции $y = 4^x$.

График функции $y = 4^x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox).

1) y = 4^x – 5;

График этой функции можно получить из графика функции $y = 4^x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси Oy на 5 единиц вниз.

Выполним построение по шагам:
1. Строим график базовой функции $y = 4^x$. Ключевые точки: $(-1, 1/4)$, $(0, 1)$, $(1, 4)$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.
2. Сдвигаем этот график на 5 единиц вниз. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = 4^x$ перейдет в точку $(x, y-5)$.
- Ключевая точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 1-5)$, то есть $(0, -4)$. Это точка пересечения с осью Oy.
- Точка $(1, 4)$ переходит в точку $(1, 4-5)$, то есть $(1, -1)$.
- Точка $(-1, 1/4)$ переходит в точку $(-1, 1/4-5)$, то есть $(-1, -4.75)$.
3. Горизонтальная асимптота $y=0$ также сдвигается на 5 единиц вниз и становится прямой $y = -5$.
4. Найдем точку пересечения с осью Ox (нуль функции), решив уравнение $y=0$:
$4^x - 5 = 0 \implies 4^x = 5 \implies x = \log_4 5$.
Таким образом, график пересекает ось Ox в точке $(\log_4 5, 0)$.

Ответ: График функции $y = 4^x - 5$ получается из графика $y = 4^x$ сдвигом на 5 единиц вниз вдоль оси Oy. Горизонтальная асимптота $y=-5$. График пересекает оси координат в точках $(\log_4 5, 0)$ и $(0, -4)$.

2) y = 4^x-3;

График этой функции можно получить из графика функции $y = 4^x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси Ox на 3 единицы вправо.

Выполним построение по шагам:
1. Строим график базовой функции $y = 4^x$. Ключевые точки: $(-1, 1/4)$, $(0, 1)$, $(1, 4)$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.
2. Сдвигаем этот график на 3 единицы вправо. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = 4^x$ перейдет в точку $(x+3, y)$.
- Ключевая точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0+3, 1)$, то есть $(3, 1)$.
- Точка $(1, 4)$ переходит в точку $(1+3, 4)$, то есть $(4, 4)$.
- Точка $(-1, 1/4)$ переходит в точку $(-1+3, 1/4)$, то есть $(2, 1/4)$.
3. Горизонтальная асимптота $y=0$ при сдвиге вправо не меняется.
4. Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = 4^{0-3} = 4^{-3} = 1/64$.
Таким образом, график пересекает ось Oy в точке $(0, 1/64)$.

Ответ: График функции $y = 4^{x-3}$ получается из графика $y = 4^x$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Горизонтальная асимптота $y=0$. График проходит через точки $(3, 1)$ и $(0, 1/64)$.

3) y = 6 – 4^x;

Преобразуем функцию к виду $y = -4^x + 6$. Ее график можно получить из графика $y = 4^x$ в два шага:
1. Симметричное отражение относительно оси Ox.
2. Сдвиг вверх на 6 единиц.

Выполним построение по шагам:
1. Строим график базовой функции $y = 4^x$.
2. Отражаем его симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график функции $y = -4^x$.
- Точка $(0, 1)$ на графике $y=4^x$ переходит в точку $(0, -1)$.
- Точка $(1, 4)$ переходит в точку $(1, -4)$.
- Асимптота $y=0$ остается на месте.
3. Сдвигаем полученный график $y = -4^x$ на 6 единиц вверх. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = -4^x$ перейдет в точку $(x, y+6)$.
- Точка $(0, -1)$ переходит в точку $(0, -1+6)$, то есть $(0, 5)$. Это точка пересечения с осью Oy.
- Точка $(1, -4)$ переходит в точку $(1, -4+6)$, то есть $(1, 2)$.
- Горизонтальная асимптота $y=0$ сдвигается на 6 единиц вверх и становится прямой $y=6$.
4. Найдем точку пересечения с осью Ox, решив уравнение $y=0$:
$6 - 4^x = 0 \implies 4^x = 6 \implies x = \log_4 6$.
Таким образом, график пересекает ось Ox в точке $(\log_4 6, 0)$.

Ответ: График функции $y = 6 - 4^x$ получается из графика $y = 4^x$ путем его отражения относительно оси Ox и последующего сдвига на 6 единиц вверх. Горизонтальная асимптота $y=6$. График пересекает оси координат в точках $(\log_4 6, 0)$ и $(0, 5)$.

4) y = |4^x – 1|;

Для построения этого графика сначала построим график вспомогательной функции $y = 4^x - 1$, а затем применим операцию модуля (абсолютной величины).

Выполним построение по шагам:
1. Построим график функции $y = 4^x - 1$. Он получается из графика $y = 4^x$ сдвигом на 1 единицу вниз.
- Горизонтальная асимптота смещается к $y=-1$.
- Точка $(0, 1)$ смещается в точку $(0, 0)$ — начало координат.
- Точка $(1, 4)$ смещается в точку $(1, 3)$.
2. Теперь применим операцию модуля к функции $y = 4^x - 1$. Это означает, что часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), нужно симметрично отразить относительно оси Ox, а часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $y \ge 0$), оставить без изменений.
- Найдем, где $4^x - 1 < 0$. Это происходит при $4^x < 1$, то есть при $x < 0$.
- Таким образом, для $x < 0$ мы отражаем часть графика $y = 4^x - 1$ относительно оси Ox. Эта часть графика будет совпадать с графиком функции $y = -(4^x - 1) = 1 - 4^x$.
- Для $x \ge 0$ график $y = |4^x - 1|$ совпадает с графиком $y = 4^x - 1$.
3. Изучим поведение итогового графика:
- График проходит через начало координат $(0, 0)$.
- При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.
- Асимптота $y = -1$ для функции $y = 4^x - 1$ при $x \to -\infty$ после отражения превращается в асимптоту $y = 1$. Таким образом, у графика $y = |4^x - 1|$ есть горизонтальная асимптота $y = 1$ при $x \to -\infty$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = |4^x - 1|$, нужно сначала построить график $y = 4^x - 1$ (сдвигом $y = 4^x$ на 1 вниз), а затем ту часть графика, что лежит ниже оси Ox (при $x<0$), симметрично отразить относительно оси Ox. Итоговый график проходит через точку $(0,0)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to -\infty$.