Номер 4, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Сравните с числом 1 положительное число $a$, если:

1) $a^{\frac{1}{3}} < a^{\frac{1}{2}};$

2) $a^{1,2} < a^{-3};$

3) $a^{-0,6} > 1.$

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами степенной функции $y = a^x$ (где $a > 0$):

• Если основание степени $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. То есть, большему показателю степени соответствует большее значение степени.
• Если основание степени $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. То есть, большему показателю степени соответствует меньшее значение степени.

1) Дано неравенство $a^{\frac{1}{3}} < a^{\frac{1}{2}}$.

Сначала сравним показатели степеней: $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$;
$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$.

Так как $2 < 3$, то $\frac{2}{6} < \frac{3}{6}$, следовательно, $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.

Мы видим, что меньшему показателю степени ($\frac{1}{3}$) соответствует меньшее значение степени ($a^{\frac{1}{3}}$), а большему показателю ($\frac{1}{2}$) — большее значение ($a^{\frac{1}{2}}$). Знак неравенства для показателей степеней совпадает со знаком неравенства для самих степеней. Это соответствует свойству возрастающей степенной функции, основание которой больше единицы.
Ответ: $a > 1$.

2) Дано неравенство $a^{1{,}2} < a^{-3}$.

Сравним показатели степеней: $1{,}2$ и $-3$.
Очевидно, что $1{,}2 > -3$.

В данном случае большему показателю степени ($1{,}2$) соответствует меньшее значение степени ($a^{1{,}2}$), а меньшему показателю ($-3$) — большее значение ($a^{-3}$). Знак неравенства для показателей степеней противоположен знаку неравенства для самих степеней. Это соответствует свойству убывающей степенной функции, основание которой находится в интервале от 0 до 1.
Ответ: $0 < a < 1$.

3) Дано неравенство $a^{-0{,}6} > 1$.

Представим число 1 как степень с основанием $a$: $1 = a^0$ (поскольку любое положительное число в нулевой степени равно 1).
Тогда неравенство примет вид: $a^{-0{,}6} > a^0$.

Сравним показатели степеней: $-0{,}6$ и $0$.
Очевидно, что $-0{,}6 < 0$.

Мы видим, что меньшему показателю степени ($-0{,}6$) соответствует большее значение степени ($a^{-0{,}6}$), а большему показателю ($0$) — меньшее значение ($a^0$). Знак неравенства для показателей степеней противоположен знаку неравенства для самих степеней. Это соответствует свойству убывающей степенной функции, основание которой находится в интервале от 0 до 1.
Ответ: $0 < a < 1$.