Номер 5, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Сравните числа m и n, если:

1) $4,2^m > 4,2^n;$

2) $0,6^m < 0,6^n;$

3) $(\frac{\pi}{2})^m < (\frac{\pi}{2})^n.$

Для решения данной задачи необходимо использовать свойства показательной функции $y = a^x$.

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что если $a^{x_1} > a^{x_2}$, то $x_1 > x_2$. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется.
• Если $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что если $a^{x_1} > a^{x_2}$, то $x_1 < x_2$. Знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный.

1) Дано неравенство $4,2^m > 4,2^n$.

Основание степени $a = 4,2$. Так как $4,2 > 1$, показательная функция $y = 4,2^x$ является возрастающей. При сравнении степеней с одинаковым основанием, большим единицы, знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

Следовательно, из $4,2^m > 4,2^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

2) Дано неравенство $0,6^m < 0,6^n$.

Основание степени $a = 0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$, показательная функция $y = 0,6^x$ является убывающей. При сравнении степеней с одинаковым основанием, которое больше нуля, но меньше единицы, знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный.

Следовательно, из $0,6^m < 0,6^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

3) Дано неравенство $(\frac{\pi}{2})^m < (\frac{\pi}{2})^n$.

Основание степени $a = \frac{\pi}{2}$. Оценим значение этого основания. Число $\pi$ приблизительно равно $3,14159...$, значит, $\pi > 3$. Тогда $\frac{\pi}{2} > \frac{3}{2} = 1,5$.

Так как основание $a = \frac{\pi}{2} > 1$, показательная функция $y = (\frac{\pi}{2})^x$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

Следовательно, из $(\frac{\pi}{2})^m < (\frac{\pi}{2})^n$ следует, что $m < n$.

Ответ: $m < n$.