Номер 173, страница 66 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. В коробке лежат 4 красных и 6 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 3 шара и записывают количество вынутых синих шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству вынутых синих шаров. Всего в коробке находится $4 + 6 = 10$ шаров. Случайным образом вынимают 3 шара. Величина $X$ может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Задача состоит в том, чтобы найти математическое ожидание $M(X)$ этой случайной величины. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: По определению математического ожидания

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i)$, где $x_i$ — возможные значения величины, а $P(X=x_i)$ — их вероятности.

Сначала найдем общее число способов вынуть 3 шара из 10. Оно равно числу сочетаний из 10 по 3:

$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$

Теперь определим вероятности для каждого возможного значения $X$.

Для $X=0$ (0 синих, 3 красных):
Число способов выбрать 0 синих из 6 и 3 красных из 4: $m_0 = C_6^0 \cdot C_4^3 = 1 \cdot 4 = 4$.
Вероятность: $P(X=0) = \frac{m_0}{N} = \frac{4}{120}$.

Для $X=1$ (1 синий, 2 красных):
Число способов выбрать 1 синий из 6 и 2 красных из 4: $m_1 = C_6^1 \cdot C_4^2 = 6 \cdot \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \cdot 6 = 36$.
Вероятность: $P(X=1) = \frac{m_1}{N} = \frac{36}{120}$.

Для $X=2$ (2 синих, 1 красный):
Число способов выбрать 2 синих из 6 и 1 красный из 4: $m_2 = C_6^2 \cdot C_4^1 = \frac{6 \cdot 5}{2} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60$.
Вероятность: $P(X=2) = \frac{m_2}{N} = \frac{60}{120}$.

Для $X=3$ (3 синих, 0 красных):
Число способов выбрать 3 синих из 6 и 0 красных из 4: $m_3 = C_6^3 \cdot C_4^0 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1 = 20 \cdot 1 = 20$.
Вероятность: $P(X=3) = \frac{m_3}{N} = \frac{20}{120}$.

Теперь вычислим математическое ожидание, подставив значения в формулу:

$M(X) = 0 \cdot \frac{4}{120} + 1 \cdot \frac{36}{120} + 2 \cdot \frac{60}{120} + 3 \cdot \frac{20}{120} = \frac{0 + 36 + 120 + 60}{120} = \frac{216}{120}$

Сократим полученную дробь:

$M(X) = \frac{216}{120} = \frac{18}{10} = 1.8$

Способ 2: Использование свойств математического ожидания

Этот способ является более простым. Представим случайную величину $X$ (общее число синих шаров) как сумму трех индикаторных случайных величин: $X = X_1 + X_2 + X_3$, где $X_i=1$, если $i$-й вынутый шар синий, и $X_i=0$ в противном случае.

По свойству линейности математического ожидания: $M(X) = M(X_1 + X_2 + X_3) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3)$.

Математическое ожидание индикаторной случайной величины равно вероятности события, которое она представляет. Вероятность того, что любой извлеченный шар (первый, второй или третий) будет синим, одинакова и равна доле синих шаров в коробке.

$P(X_i=1) = \frac{\text{число синих шаров}}{\text{всего шаров}} = \frac{6}{10}$

Следовательно, $M(X_i) = \frac{6}{10}$ для $i=1, 2, 3$.

Тогда искомое математическое ожидание равно:

$M(X) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3) = \frac{6}{10} + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = 3 \cdot \frac{6}{10} = \frac{18}{10} = 1.8$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 1.8