Номер 166, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Игральный кубик бросают восемь раз. Какова вероятность того, что единица выпадет:

1) три раза;

2) больше двух, но меньше пяти раз?

Для решения данной задачи мы будем использовать формулу Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события A ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $n$ – общее число испытаний;
• $k$ – число наступления события;
• $p$ – вероятность наступления события в одном испытании;
• $q$ – вероятность ненаступления события в одном испытании ($q = 1-p$);
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний из $n$ по $k$.

В нашем случае:

• Испытание – бросок игрального кубика.
• Число испытаний: $n = 8$.
• Событие A – выпадение единицы.
• Вероятность успеха (выпадение единицы): $p = \frac{1}{6}$.
• Вероятность неудачи (выпадение любой другой грани): $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

1) три раза;

Нам нужно найти вероятность того, что единица выпадет ровно 3 раза ($k=3$). Подставим наши значения в формулу Бернулли:

$P_8(3) = C_8^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{8-3} = C_8^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^5$

Сначала вычислим число сочетаний $C_8^3$:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$P_8(3) = 56 \cdot \frac{1^3}{6^3} \cdot \frac{5^5}{6^5} = 56 \cdot \frac{3125}{6^8}$

$P_8(3) = \frac{56 \cdot 3125}{1679616} = \frac{175000}{1679616}$

Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 8:

$\frac{175000 \div 8}{1679616 \div 8} = \frac{21875}{209952}$

Эта дробь является несократимой.

Ответ: $P_8(3) = \frac{21875}{209952}$

2) больше двух, но меньше пяти раз?

Это означает, что единица должна выпасть либо 3 раза, либо 4 раза. Так как эти события несовместны, искомая вероятность равна сумме их вероятностей:

$P = P_8(3) + P_8(4)$

Вероятность $P_8(3)$ мы уже нашли в предыдущем пункте:

$P_8(3) = \frac{175000}{1679616}$

Теперь найдем вероятность того, что единица выпадет ровно 4 раза ($k=4$):

$P_8(4) = C_8^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{8-4} = C_8^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^4$

Вычислим число сочетаний $C_8^4$:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Подставим это значение в формулу для $P_8(4)$:

$P_8(4) = 70 \cdot \frac{1^4}{6^4} \cdot \frac{5^4}{6^4} = 70 \cdot \frac{625}{6^8} = \frac{70 \cdot 625}{1679616} = \frac{43750}{1679616}$

Теперь сложим вероятности:

$P = P_8(3) + P_8(4) = \frac{175000}{1679616} + \frac{43750}{1679616} = \frac{175000 + 43750}{1679616} = \frac{218750}{1679616}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{218750 \div 2}{1679616 \div 2} = \frac{109375}{839808}$

Эта дробь является несократимой.

Ответ: $P = \frac{109375}{839808}$