Номер 159, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. В одном ящике лежат 6 красных, 5 синих и 9 зелёных шаров, а в другом — 7 красных, 1 синий и 5 зелёных шаров. Наугад из каждого ящика берут по одному шару. Какова вероятность того, что взятые шары будут одного цвета?

Для решения задачи определим вероятность каждого из трёх возможных благоприятных исходов (оба шара красные, оба синие, оба зелёные), а затем сложим эти вероятности, так как эти события являются несовместными (не могут произойти одновременно).

Сначала найдём общее количество шаров в каждом ящике.

В первом ящике: $6$ красных + $5$ синих + $9$ зелёных = $20$ шаров.

Во втором ящике: $7$ красных + $1$ синий + $5$ зелёных = $13$ шаров.

Вероятность вытащить два красных шара

Вероятность вытащить красный шар из первого ящика: $P(К_1) = \frac{6}{20}$.

Вероятность вытащить красный шар из второго ящика: $P(К_2) = \frac{7}{13}$.

Так как выбор шаров из каждого ящика — независимые события, вероятность того, что оба шара окажутся красными, равна произведению вероятностей этих событий:

$P(КК) = P(К_1) \times P(К_2) = \frac{6}{20} \times \frac{7}{13} = \frac{42}{260}$.

Вероятность вытащить два синих шара

Вероятность вытащить синий шар из первого ящика: $P(С_1) = \frac{5}{20}$.

Вероятность вытащить синий шар из второго ящика: $P(С_2) = \frac{1}{13}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся синими:

$P(СС) = P(С_1) \times P(С_2) = \frac{5}{20} \times \frac{1}{13} = \frac{5}{260}$.

Вероятность вытащить два зелёных шара

Вероятность вытащить зелёный шар из первого ящика: $P(З_1) = \frac{9}{20}$.

Вероятность вытащить зелёный шар из второго ящика: $P(З_2) = \frac{5}{13}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся зелёными:

$P(ЗЗ) = P(З_1) \times P(З_2) = \frac{9}{20} \times \frac{5}{13} = \frac{45}{260}$.

Общая вероятность того, что взятые шары будут одного цвета

Чтобы найти общую вероятность того, что шары будут одного цвета, нужно сложить вероятности трёх несовместных событий (оба красные, оба синие, оба зелёные):

$P(одного \ цвета) = P(КК) + P(СС) + P(ЗЗ) = \frac{42}{260} + \frac{5}{260} + \frac{45}{260} = \frac{42 + 5 + 45}{260} = \frac{92}{260}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{92}{260} = \frac{92 \div 4}{260 \div 4} = \frac{23}{65}$.

Ответ: $\frac{23}{65}$.