Страница 63 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. Дважды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет только в первый раз?

Для решения этой задачи по теории вероятностей, рассмотрим два независимых события, которые должны произойти, чтобы выполнилось условие "шестёрка выпадет только в первый раз".

Событие A: "При первом броске выпала шестёрка".
Событие B: "При втором броске не выпала шестёрка".

Вероятность события A рассчитывается как отношение одного благоприятного исхода (выпадение шестёрки) к общему числу возможных исходов (6 граней у кубика):

$P(A) = \frac{1}{6}$

Вероятность события B рассчитывается как отношение числа благоприятных исходов (выпадение любого числа, кроме шестёрки, то есть 1, 2, 3, 4, 5 — всего 5 исходов) к общему числу возможных исходов (6 граней):

$P(B) = \frac{5}{6}$

Поскольку броски кубика являются независимыми друг от друга событиями, итоговая вероятность того, что произойдут оба этих события (шестёрка выпадет в первый раз, а во второй раз не выпадет), равна произведению их вероятностей:

$P = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$

Другой способ — рассмотреть общее пространство элементарных исходов. При двух бросках кубика общее число возможных комбинаций равно $6 \times 6 = 36$. Благоприятными для нас являются только те комбинации, где на первом месте стоит шестёрка, а на втором — любое другое число. Таких комбинаций ровно 5:

(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5).

Таким образом, количество благоприятных исходов равно 5. Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{5}{36}$

Ответ: $\frac{5}{36}$

153. Трижды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет только во второй раз?

Для решения задачи определим вероятности наступления каждого из требуемых событий для трёх последовательных бросков игрального кубика.

События, которые должны произойти:

1. При первом броске шестёрка не выпала.
2. При втором броске выпала шестёрка.
3. При третьем броске шестёрка не выпала.

Вероятность выпадения любого конкретного числа (в том числе и шестёрки) на стандартном шестигранном кубике равна $1/6$.

Соответственно, вероятность того, что шестёрка НЕ выпадет, равна $1 - 1/6 = 5/6$.

Теперь рассчитаем вероятности для каждого из трёх бросков:

• Вероятность того, что при первом броске не выпадет шестёрка, равна $P_1 = 5/6$.
• Вероятность того, что при втором броске выпадет шестёрка, равна $P_2 = 1/6$.
• Вероятность того, что при третьем броске не выпадет шестёрка, равна $P_3 = 5/6$.

Поскольку результаты каждого броска являются независимыми событиями, общая вероятность того, что все три события произойдут в указанной последовательности, вычисляется как произведение их индивидуальных вероятностей:

$P_{\text{общая}} = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$

Ответ: $\frac{25}{216}$

154. На насосной станции параллельно работает три насоса. Вероятность выхода из строя первого насоса равна 10%, второго — 8%, третьего — 5%. Какова вероятность того, что подача воды будет совсем прекращена?

Поскольку насосы на станции работают параллельно, подача воды будет прекращена только в том случае, если из строя выйдут все три насоса одновременно. Будем считать, что выход из строя каждого насоса является независимым событием (поломка одного насоса не влияет на работу других).

Введем обозначения для событий:
$A_1$ — событие, при котором из строя выходит первый насос.
$A_2$ — событие, при котором из строя выходит второй насос.
$A_3$ — событие, при котором из строя выходит третий насос.

По условию задачи, вероятности этих событий равны:
$P(A_1) = 10\% = 0.1$
$P(A_2) = 8\% = 0.08$
$P(A_3) = 5\% = 0.05$

Нам необходимо найти вероятность события $B$, которое заключается в том, что все три насоса вышли из строя. Это событие является совместным наступлением (пересечением) независимых событий $A_1$, $A_2$ и $A_3$.

Вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей:
$P(B) = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \times P(A_2) \times P(A_3)$

Подставим известные значения и вычислим искомую вероятность:
$P(B) = 0.1 \times 0.08 \times 0.05 = 0.008 \times 0.05 = 0.0004$

Вероятность также можно выразить в процентах: $0.0004 \times 100\% = 0.04\%$.

Ответ: $0.0004$

155. В ящике лежат 5 красных и 4 чёрных шара. Наугад из ящика вынимают два шара и кладут их назад. Эту же операцию повторяют ещё раз. Какова вероятность того, что все вынутые шары будут красного цвета?

В ящике находятся 5 красных и 4 чёрных шара, всего $5 + 4 = 9$ шаров.

Операция состоит из двух этапов: сначала вынимают два шара, а затем кладут их назад. Эту операцию повторяют дважды. Нам нужно найти вероятность того, что все вынутые шары будут красного цвета. Это означает, что при первом извлечении должны быть вынуты два красных шара, и при втором извлечении также должны быть вынуты два красных шара.

Поскольку после первого извлечения шары возвращаются в ящик, состав шаров перед вторым извлечением не меняется. Следовательно, два извлечения являются независимыми событиями.

Найдем вероятность вынуть два красных шара за одно извлечение. Общее число способов выбрать 2 шара из 9 равно числу сочетаний из 9 по 2:

$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$

Число способов выбрать 2 красных шара из 5 имеющихся красных шаров равно числу сочетаний из 5 по 2:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Вероятность того, что при первом извлечении будут вынуты два красных шара ($P_1$), равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P_1 = \frac{C_5^2}{C_9^2} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

Так как условия для второго извлечения идентичны, вероятность вынуть два красных шара во второй раз ($P_2$) также равна $\frac{5}{18}$.

Чтобы найти вероятность того, что оба этих независимых события произойдут, нужно перемножить их вероятности:

$P = P_1 \cdot P_2 = \frac{5}{18} \cdot \frac{5}{18} = \frac{25}{324}$

Ответ: $\frac{25}{324}$

156. Из коробки, в которой лежат 4 синих и 5 красных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Вычислите вероятность того, что первый взятый шар красный, а второй — синий.

Для решения этой задачи необходимо вычислить вероятность последовательного наступления двух зависимых событий.

Всего в коробке находится $4$ синих и $5$ красных шаров, то есть $4 + 5 = 9$ шаров.

Событие, вероятность которого мы ищем, состоит в том, что:

1. Первый взятый шар — красный.
2. Второй взятый шар — синий.

Шаг 1: Вычисляем вероятность первого события.

Вероятность того, что первый взятый шар будет красным, равна отношению количества красных шаров к общему количеству шаров в коробке.

$P(\text{первый красный}) = \frac{5}{9}$

Шаг 2: Вычисляем вероятность второго события.

После того как из коробки взяли один красный шар, в ней осталось $9 - 1 = 8$ шаров. Количество синих шаров при этом не изменилось и по-прежнему равно 4.

Вероятность того, что второй взятый шар будет синим, при условии, что первый был красным, равна:

$P(\text{второй синий | первый красный}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Шаг 3: Вычисляем итоговую вероятность.

Вероятность того, что оба события произойдут последовательно, находится путем умножения вероятностей этих событий:

$P(\text{первый красный и второй синий}) = P(\text{первый красный}) \times P(\text{второй синий | первый красный})$

$P = \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{5}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{18}$

Ответ: $\frac{5}{18}$

157. Три станка изготавливают соответственно 50%, 40% и 10% всех изделий. В их работе брак соответственно составляет 1%, 2% и 4%. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие будет бракованным?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Введем следующие события:

$H_1$ – событие, состоящее в том, что изделие изготовлено первым станком.

$H_2$ – событие, состоящее в том, что изделие изготовлено вторым станком.

$H_3$ – событие, состоящее в том, что изделие изготовлено третьим станком.

$A$ – событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие является бракованным.

Из условия задачи известны вероятности того, что изделие произведено каждым из станков. Переведем проценты в десятичные дроби:

$P(H_1) = 50\% = 0.5$

$P(H_2) = 40\% = 0.4$

$P(H_3) = 10\% = 0.1$

События $H_1$, $H_2$ и $H_3$ образуют полную группу несовместных событий, так как сумма их вероятностей равна 1 ($0.5 + 0.4 + 0.1 = 1$).

Также известны условные вероятности появления бракованного изделия для каждого станка:

$P(A|H_1) = 1\% = 0.01$ (вероятность брака для первого станка)

$P(A|H_2) = 2\% = 0.02$ (вероятность брака для второго станка)

$P(A|H_3) = 4\% = 0.04$ (вероятность брака для третьего станка)

Искомую вероятность того, что случайно выбранное изделие будет бракованным, находим по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3)$

Подставляем известные значения в формулу:

$P(A) = 0.5 \cdot 0.01 + 0.4 \cdot 0.02 + 0.1 \cdot 0.04$

Выполняем вычисления:

$P(A) = 0.005 + 0.008 + 0.004 = 0.017$

Таким образом, вероятность того, что взятое наугад изделие будет бракованным, составляет 0.017, или 1.7%.

Ответ: $0.017$

158. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет 0,6, второго — 0,8, третьего — 0,7. Какова вероятность того, что будет:

1) три промаха;

2) только два попадания?

Обозначим вероятности попадания для каждого стрелка:

• $P_1 = 0,6$ — вероятность попадания первого стрелка.
• $P_2 = 0,8$ — вероятность попадания второго стрелка.
• $P_3 = 0,7$ — вероятность попадания третьего стрелка.

Тогда вероятности промаха (события, противоположные попаданию) для каждого стрелка будут равны:

• $Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,6 = 0,4$ — вероятность промаха первого стрелка.
• $Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,8 = 0,2$ — вероятность промаха второго стрелка.
• $Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0,7 = 0,3$ — вероятность промаха третьего стрелка.

1) три промаха

Событие "три промаха" означает, что первый стрелок промахнулся, И второй стрелок промахнулся, И третий стрелок промахнулся. Поскольку выстрелы являются независимыми событиями, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей.

$P(\text{три промаха}) = Q_1 \cdot Q_2 \cdot Q_3$

$P(\text{три промаха}) = 0,4 \cdot 0,2 \cdot 0,3 = 0,024$

Ответ: 0,024.

2) только два попадания

Событие "только два попадания" может произойти в трех взаимоисключающих вариантах:

1. Первый и второй стрелки попали, а третий промахнулся.
2. Первый и третий стрелки попали, а второй промахнулся.
3. Второй и третий стрелки попали, а первый промахнулся.

Найдем вероятность каждого из этих вариантов. Так как выстрелы независимы, вероятности перемножаются.

Вероятность первого варианта: $P(вар.1) = P_1 \cdot P_2 \cdot Q_3 = 0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,3 = 0,144$.

Вероятность второго варианта: $P(вар.2) = P_1 \cdot Q_2 \cdot P_3 = 0,6 \cdot 0,2 \cdot 0,7 = 0,084$.

Вероятность третьего варианта: $P(вар.3) = Q_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = 0,4 \cdot 0,8 \cdot 0,7 = 0,224$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих трех несовместных событий:

$P(\text{только два попадания}) = P(вар.1) + P(вар.2) + P(вар.3)$

$P(\text{только два попадания}) = 0,144 + 0,084 + 0,224 = 0,452$

Ответ: 0,452.

159. В одном ящике лежат 6 красных, 5 синих и 9 зелёных шаров, а в другом — 7 красных, 1 синий и 5 зелёных шаров. Наугад из каждого ящика берут по одному шару. Какова вероятность того, что взятые шары будут одного цвета?

Для решения задачи определим вероятность каждого из трёх возможных благоприятных исходов (оба шара красные, оба синие, оба зелёные), а затем сложим эти вероятности, так как эти события являются несовместными (не могут произойти одновременно).

Сначала найдём общее количество шаров в каждом ящике.

В первом ящике: $6$ красных + $5$ синих + $9$ зелёных = $20$ шаров.

Во втором ящике: $7$ красных + $1$ синий + $5$ зелёных = $13$ шаров.

Вероятность вытащить два красных шара

Вероятность вытащить красный шар из первого ящика: $P(К_1) = \frac{6}{20}$.

Вероятность вытащить красный шар из второго ящика: $P(К_2) = \frac{7}{13}$.

Так как выбор шаров из каждого ящика — независимые события, вероятность того, что оба шара окажутся красными, равна произведению вероятностей этих событий:

$P(КК) = P(К_1) \times P(К_2) = \frac{6}{20} \times \frac{7}{13} = \frac{42}{260}$.

Вероятность вытащить два синих шара

Вероятность вытащить синий шар из первого ящика: $P(С_1) = \frac{5}{20}$.

Вероятность вытащить синий шар из второго ящика: $P(С_2) = \frac{1}{13}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся синими:

$P(СС) = P(С_1) \times P(С_2) = \frac{5}{20} \times \frac{1}{13} = \frac{5}{260}$.

Вероятность вытащить два зелёных шара

Вероятность вытащить зелёный шар из первого ящика: $P(З_1) = \frac{9}{20}$.

Вероятность вытащить зелёный шар из второго ящика: $P(З_2) = \frac{5}{13}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся зелёными:

$P(ЗЗ) = P(З_1) \times P(З_2) = \frac{9}{20} \times \frac{5}{13} = \frac{45}{260}$.

Общая вероятность того, что взятые шары будут одного цвета

Чтобы найти общую вероятность того, что шары будут одного цвета, нужно сложить вероятности трёх несовместных событий (оба красные, оба синие, оба зелёные):

$P(одного \ цвета) = P(КК) + P(СС) + P(ЗЗ) = \frac{42}{260} + \frac{5}{260} + \frac{45}{260} = \frac{42 + 5 + 45}{260} = \frac{92}{260}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{92}{260} = \frac{92 \div 4}{260 \div 4} = \frac{23}{65}$.

Ответ: $\frac{23}{65}$.

160. Монету подбрасывают 10 раз. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб.

При каждом подбрасывании монеты существует два равновероятных исхода: выпадение герба или выпадение решки. Поскольку монету подбрасывают 10 раз, и результаты каждого броска независимы друг от друга, общее количество всех возможных комбинаций исходов можно найти по формуле $N = 2^n$, где $n$ — количество бросков.

В данном случае $n = 10$, поэтому общее число элементарных исходов равно:

$N = 2^{10} = 1024$.

Нас интересует событие A, которое заключается в том, что "хотя бы один раз выпадет герб". Это означает, что герб может выпасть 1 раз, 2 раза, 3 раза и так далее, вплоть до 10 раз. Расчет вероятности для каждого из этих случаев и их последующее сложение является трудоемким процессом.

Проще пойти от обратного и рассмотреть противоположное (дополнительное) событие $\bar{A}$, которое заключается в том, что "герб не выпадет ни разу". Это означает, что при всех 10 бросках выпадала решка.

Существует только одна комбинация, соответствующая этому событию: РРРРРРРРРР (10 решек подряд). Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию $\bar{A}$, равно 1.

Вероятность события $\bar{A}$ равна отношению числа благоприятствующих ему исходов к общему числу исходов:

$P(\bar{A}) = \frac{1}{1024}$.

События A и $\bar{A}$ являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1:

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

Отсюда мы можем найти искомую вероятность события A:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$.

Ответ: $\frac{1023}{1024}$

161. Два ученика независимо друг от друга решают одну задачу. Первый ученик может решить эту задачу с вероятностью 0,8, а второй — 0,9. Найдите вероятность того, что:

1) оба ученика решат задачу;

2) ни один из учеников не решит задачу;

3) хотя бы один из учеников решит задачу;

4) только один из учеников решит задачу.

Обозначим события:

A = {первый ученик решит задачу}

B = {второй ученик решит задачу}

По условию, вероятности этих событий равны:

$P(A) = 0,8$

$P(B) = 0,9$

Также найдем вероятности противоположных событий (что ученики не решат задачу):

$\bar{A}$ = {первый ученик не решит задачу}, вероятность которого $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2$

$\bar{B}$ = {второй ученик не решит задачу}, вероятность которого $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,9 = 0,1$

Поскольку ученики решают задачу независимо друг от друга, для нахождения вероятности совместного наступления событий мы будем перемножать их вероятности.

1) оба ученика решат задачу;

Это событие означает, что произойдут и событие A, и событие B. Вероятность этого равна произведению вероятностей этих событий:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,8 \times 0,9 = 0,72$

Ответ: 0,72

2) ни один из учеников не решит задачу;

Это событие означает, что произойдут и событие $\bar{A}$, и событие $\bar{B}$. Вероятность этого равна произведению вероятностей противоположных событий:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,2 \times 0,1 = 0,02$

Ответ: 0,02

3) хотя бы один из учеников решит задачу;

Событие "хотя бы один решит" является противоположным событию "ни один не решит". Поэтому его вероятность можно найти, вычтя из единицы вероятность того, что ни один ученик не решит задачу (которую мы нашли в пункте 2):

$P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни один не решит}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,02 = 0,98$

Ответ: 0,98

4) только один из учеников решит задачу.

Это событие означает, что либо первый ученик решит задачу, а второй нет, либо первый не решит, а второй решит. Это сумма двух несовместных событий:

1. Первый решил, второй не решил: $P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0,8 \times 0,1 = 0,08$

2. Первый не решил, второй решил: $P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B) = 0,2 \times 0,9 = 0,18$

Общая вероятность равна сумме вероятностей этих двух исходов:

$P(\text{только один}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = 0,08 + 0,18 = 0,26$

Ответ: 0,26