Номер 155, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. В ящике лежат 5 красных и 4 чёрных шара. Наугад из ящика вынимают два шара и кладут их назад. Эту же операцию повторяют ещё раз. Какова вероятность того, что все вынутые шары будут красного цвета?

В ящике находятся 5 красных и 4 чёрных шара, всего $5 + 4 = 9$ шаров.

Операция состоит из двух этапов: сначала вынимают два шара, а затем кладут их назад. Эту операцию повторяют дважды. Нам нужно найти вероятность того, что все вынутые шары будут красного цвета. Это означает, что при первом извлечении должны быть вынуты два красных шара, и при втором извлечении также должны быть вынуты два красных шара.

Поскольку после первого извлечения шары возвращаются в ящик, состав шаров перед вторым извлечением не меняется. Следовательно, два извлечения являются независимыми событиями.

Найдем вероятность вынуть два красных шара за одно извлечение. Общее число способов выбрать 2 шара из 9 равно числу сочетаний из 9 по 2:

$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$

Число способов выбрать 2 красных шара из 5 имеющихся красных шаров равно числу сочетаний из 5 по 2:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Вероятность того, что при первом извлечении будут вынуты два красных шара ($P_1$), равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P_1 = \frac{C_5^2}{C_9^2} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

Так как условия для второго извлечения идентичны, вероятность вынуть два красных шара во второй раз ($P_2$) также равна $\frac{5}{18}$.

Чтобы найти вероятность того, что оба этих независимых события произойдут, нужно перемножить их вероятности:

$P = P_1 \cdot P_2 = \frac{5}{18} \cdot \frac{5}{18} = \frac{25}{324}$

Ответ: $\frac{25}{324}$