Номер 157, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. Три станка изготавливают соответственно 50%, 40% и 10% всех изделий. В их работе брак соответственно составляет 1%, 2% и 4%. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие будет бракованным?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Введем следующие события:

$H_1$ – событие, состоящее в том, что изделие изготовлено первым станком.

$H_2$ – событие, состоящее в том, что изделие изготовлено вторым станком.

$H_3$ – событие, состоящее в том, что изделие изготовлено третьим станком.

$A$ – событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие является бракованным.

Из условия задачи известны вероятности того, что изделие произведено каждым из станков. Переведем проценты в десятичные дроби:

$P(H_1) = 50\% = 0.5$

$P(H_2) = 40\% = 0.4$

$P(H_3) = 10\% = 0.1$

События $H_1$, $H_2$ и $H_3$ образуют полную группу несовместных событий, так как сумма их вероятностей равна 1 ($0.5 + 0.4 + 0.1 = 1$).

Также известны условные вероятности появления бракованного изделия для каждого станка:

$P(A|H_1) = 1\% = 0.01$ (вероятность брака для первого станка)

$P(A|H_2) = 2\% = 0.02$ (вероятность брака для второго станка)

$P(A|H_3) = 4\% = 0.04$ (вероятность брака для третьего станка)

Искомую вероятность того, что случайно выбранное изделие будет бракованным, находим по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3)$

Подставляем известные значения в формулу:

$P(A) = 0.5 \cdot 0.01 + 0.4 \cdot 0.02 + 0.1 \cdot 0.04$

Выполняем вычисления:

$P(A) = 0.005 + 0.008 + 0.004 = 0.017$

Таким образом, вероятность того, что взятое наугад изделие будет бракованным, составляет 0.017, или 1.7%.

Ответ: $0.017$