Номер 158, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

158. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет 0,6, второго — 0,8, третьего — 0,7. Какова вероятность того, что будет:

1) три промаха;

2) только два попадания?

Обозначим вероятности попадания для каждого стрелка:

• $P_1 = 0,6$ — вероятность попадания первого стрелка.
• $P_2 = 0,8$ — вероятность попадания второго стрелка.
• $P_3 = 0,7$ — вероятность попадания третьего стрелка.

Тогда вероятности промаха (события, противоположные попаданию) для каждого стрелка будут равны:

• $Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,6 = 0,4$ — вероятность промаха первого стрелка.
• $Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,8 = 0,2$ — вероятность промаха второго стрелка.
• $Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0,7 = 0,3$ — вероятность промаха третьего стрелка.

1) три промаха

Событие "три промаха" означает, что первый стрелок промахнулся, И второй стрелок промахнулся, И третий стрелок промахнулся. Поскольку выстрелы являются независимыми событиями, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей.

$P(\text{три промаха}) = Q_1 \cdot Q_2 \cdot Q_3$

$P(\text{три промаха}) = 0,4 \cdot 0,2 \cdot 0,3 = 0,024$

Ответ: 0,024.

2) только два попадания

Событие "только два попадания" может произойти в трех взаимоисключающих вариантах:

1. Первый и второй стрелки попали, а третий промахнулся.
2. Первый и третий стрелки попали, а второй промахнулся.
3. Второй и третий стрелки попали, а первый промахнулся.

Найдем вероятность каждого из этих вариантов. Так как выстрелы независимы, вероятности перемножаются.

Вероятность первого варианта: $P(вар.1) = P_1 \cdot P_2 \cdot Q_3 = 0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,3 = 0,144$.

Вероятность второго варианта: $P(вар.2) = P_1 \cdot Q_2 \cdot P_3 = 0,6 \cdot 0,2 \cdot 0,7 = 0,084$.

Вероятность третьего варианта: $P(вар.3) = Q_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = 0,4 \cdot 0,8 \cdot 0,7 = 0,224$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих трех несовместных событий:

$P(\text{только два попадания}) = P(вар.1) + P(вар.2) + P(вар.3)$

$P(\text{только два попадания}) = 0,144 + 0,084 + 0,224 = 0,452$

Ответ: 0,452.