Номер 165, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. В ящике лежат 5 белых и 6 чёрных шаров. Из ящика шесть раз вынимают по одному шару и кладут назад перед следующим испытанием. Найдите вероятность того, что из шести вынутых шаров белый шар:

1) не вынимали ни одного раза;

2) вынимали меньше трёх раз;

3) вынимали не менее двух раз.

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли, так как проводятся независимые испытания с двумя возможными исходами, и вероятность успеха в каждом испытании постоянна.

Всего в ящике $5 + 6 = 11$ шаров.

Вероятность вынуть белый шар (успех) в одном испытании: $p = \frac{5}{11}$.

Вероятность вынуть чёрный шар (неудача) в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - \frac{5}{11} = \frac{6}{11}$.

Количество испытаний: $n = 6$.

Формула Бернулли для $k$ успехов в $n$ испытаниях: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

1) не вынимали ни одного раза;

Это означает, что белый шар вынули $k=0$ раз. Все 6 раз вынимали чёрный шар.

Вероятность этого события: $P_6(0) = C_6^0 \cdot (\frac{5}{11})^0 \cdot (\frac{6}{11})^{6-0} = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{6}{11})^6 = \frac{6^6}{11^6} = \frac{46656}{1771561}$.

Ответ: $P_6(0) = \frac{46656}{1771561}$

2) вынимали меньше трёх раз;

Это означает, что белый шар вынимали 0, 1 или 2 раза. Нужно найти сумму вероятностей этих событий: $P(k<3) = P_6(0) + P_6(1) + P_6(2)$.

Вероятность $P_6(0)$ уже найдена: $P_6(0) = \frac{46656}{1771561}$.

Найдём $P_6(1)$ (белый шар вынули ровно 1 раз): $P_6(1) = C_6^1 \cdot (\frac{5}{11})^1 \cdot (\frac{6}{11})^{5} = 6 \cdot \frac{5}{11} \cdot \frac{6^5}{11^5} = \frac{30 \cdot 7776}{11^6} = \frac{233280}{1771561}$.

Найдём $P_6(2)$ (белый шар вынули ровно 2 раза): $C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$. $P_6(2) = C_6^2 \cdot (\frac{5}{11})^2 \cdot (\frac{6}{11})^{4} = 15 \cdot \frac{5^2}{11^2} \cdot \frac{6^4}{11^4} = \frac{15 \cdot 25 \cdot 1296}{11^6} = \frac{486000}{1771561}$.

Суммируем вероятности: $P(k<3) = \frac{46656}{1771561} + \frac{233280}{1771561} + \frac{486000}{1771561} = \frac{46656 + 233280 + 486000}{1771561} = \frac{765936}{1771561}$.

Ответ: $P(k<3) = \frac{765936}{1771561}$

3) вынимали не менее двух раз.

"Не менее двух раз" означает 2, 3, 4, 5 или 6 раз. Проще найти вероятность противоположного события ("вынимали менее двух раз", то есть 0 или 1 раз) и вычесть её из 1.

Событие "не менее двух раз" ($k \geq 2$) является противоположным событию "менее двух раз" ($k < 2$).

$P(k \geq 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - (P_6(0) + P_6(1))$.

Значения $P_6(0)$ и $P_6(1)$ мы уже рассчитали в предыдущем пункте: $P_6(0) = \frac{46656}{1771561}$ $P_6(1) = \frac{233280}{1771561}$

$P(k < 2) = P_6(0) + P_6(1) = \frac{46656}{1771561} + \frac{233280}{1771561} = \frac{279936}{1771561}$.

Теперь найдём искомую вероятность: $P(k \geq 2) = 1 - \frac{279936}{1771561} = \frac{1771561 - 279936}{1771561} = \frac{1491625}{1771561}$.

Ответ: $P(k \geq 2) = \frac{1491625}{1771561}$