Номер 172, страница 66 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. В коробке лежат 2 красных и 4 синих шара. Случайным образом из коробки один за другим вынимают по одному шару до тех пор, пока не будет вынут красный шар, и записывают, сколько раз пришлось вынимать шар. Составьте таблицу распределения вероятностей рассматриваемой случайной величины и вычислите её математическое ожидание.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству вынутых шаров до появления первого красного шара.

Всего в коробке $2 + 4 = 6$ шаров.

Эксперимент прекращается, как только вынут красный шар. Поскольку в коробке всего 4 синих шара, в худшем случае мы сначала вынем все 4 синих шара, и пятым шаром обязательно будет красный. Таким образом, случайная величина $X$ может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5.

Составление таблицы распределения вероятностей

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.

1. $X=1$: это означает, что первый же вынутый шар — красный. Вероятность этого события:

$P(X=1) = \frac{\text{число красных шаров}}{\text{общее число шаров}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2. $X=2$: это означает, что первый шар был синим (С), а второй — красным (К). Вероятность этого события (события зависимы, так как шары не возвращаются):

$P(X=2) = P(С_1) \cdot P(К_2|С_1) = \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$

3. $X=3$: это означает, что первые два шара были синими, а третий — красным.

$P(X=3) = P(С_1) \cdot P(С_2|С_1) \cdot P(К_3|С_1, С_2) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$

4. $X=4$: это означает, что первые три шара были синими, а четвертый — красным.

$P(X=4) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{48}{360} = \frac{2}{15}$

5. $X=5$: это означает, что первые четыре шара были синими, а пятый — красным.

$P(X=5) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{24}{360} = \frac{1}{15}$

Проверим, что сумма вероятностей равна 1. Приведем все дроби к общему знаменателю 15:

$P(X=1) = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}$

$P(X=2) = \frac{4}{15}$

$P(X=3) = \frac{1}{5} = \frac{3}{15}$

$P(X=4) = \frac{2}{15}$

$P(X=5) = \frac{1}{15}$

Сумма: $\frac{5}{15} + \frac{4}{15} + \frac{3}{15} + \frac{2}{15} + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} = 1$.

Теперь составим таблицу распределения вероятностей:

Ответ: Таблица распределения вероятностей случайной величины $X$ имеет вид:

Вычисление математического ожидания

Математическое ожидание $E(X)$ случайной величины вычисляется по формуле:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$

Подставим наши значения:

$E(X) = 1 \cdot \frac{5}{15} + 2 \cdot \frac{4}{15} + 3 \cdot \frac{3}{15} + 4 \cdot \frac{2}{15} + 5 \cdot \frac{1}{15}$

$E(X) = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1}{15}$

$E(X) = \frac{5 + 8 + 9 + 8 + 5}{15} = \frac{35}{15}$

Сократим дробь:

$E(X) = \frac{35}{15} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Ответ: Математическое ожидание равно $\frac{7}{3}$.