Номер 148, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. В каждой из двух колод лежит по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках нечётная; событие $B$ — в том, что по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 3. Найдите вероятность события:

1) $\overline{B}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

Для решения задачи определим пространство элементарных исходов. Из каждой из двух колод, содержащих карточки с номерами {1, 2, 3}, вынимают по одной карточке. Результатом является упорядоченная пара чисел $(x, y)$, где $x$ — номер карточки из первой колоды, а $y$ — из второй.

Общее число всех возможных равновероятных исходов $N$ равно $3 \times 3 = 9$. Перечислим все исходы:
$\Omega = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}$.

Рассмотрим события A и B:
Событие A: сумма очков на выбранных карточках нечётная. Сумма двух целых чисел нечётна тогда и только тогда, когда одно число чётное, а другое — нечётное. В наборе {1, 2, 3} чётное число — 2, нечётные — 1 и 3.
Благоприятные для A исходы: (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2).
Число исходов, благоприятствующих событию A, равно $m_A = 4$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{4}{9}$.

Событие B: по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 3.
Благоприятные для B исходы: (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3).
Число исходов, благоприятствующих событию B, равно $m_B = 5$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{5}{9}$.

1) $\overline{B}$;

Событие $\overline{B}$ является противоположным событию B, и оно состоит в том, что ни одна из выбранных карточек не имеет номера 3. Это означает, что обе карточки были выбраны из набора {1, 2}.
Число исходов, благоприятствующих событию $\overline{B}$, равно $2 \times 2 = 4$.
Это исходы: (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2).
Вероятность события $\overline{B}$ равна $P(\overline{B}) = \frac{4}{9}$.
Альтернативно, можно использовать формулу вероятности противоположного события:
$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

2) $A \cap B$;

Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) состоит в том, что происходят оба события одновременно: сумма очков нечётная, и по крайней мере одна из карточек имеет номер 3.
Нам нужно найти исходы, которые входят и в множество A, и в множество B.
Множество исходов для A: $\{(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)\}$.
Множество исходов для B: $\{(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}$.
Общими для этих двух множеств являются исходы: (2, 3) и (3, 2).
Число благоприятствующих исходов для $A \cap B$ равно 2.
Вероятность события $A \cap B$ равна $P(A \cap B) = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$.

3) $A \cup B$.

Событие $A \cup B$ (объединение событий A и B) состоит в том, что происходит хотя бы одно из этих событий: либо сумма очков нечётная, либо по крайней мере одна карточка имеет номер 3.
Вероятность объединения событий вычисляется по формуле:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Мы уже нашли все необходимые вероятности: $P(A) = \frac{4}{9}$, $P(B) = \frac{5}{9}$, и $P(A \cap B) = \frac{2}{9}$.
Подставим эти значения в формулу:
$P(A \cup B) = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.