Номер 146, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Выпускников военного училища направили служить в три части. В первую часть попали 7 молодых офицеров, во вторую — 12, в третью — 6. Какова вероятность того, что два друга Иванов и Петров будут служить в одной части?

Для решения задачи сперва найдем общее количество выпускников, которых направили служить в три воинские части. В первой части 7 офицеров, во второй — 12, в третьей — 6.

Общее число выпускников: $N = 7 + 12 + 6 = 25$ человек.

Искомую вероятность найдем по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию (то есть, когда два друга окажутся в одной части).

Общее число исходов $n$ представляет собой количество способов выбрать 2 места для двух друзей (Иванова и Петрова) из 25 имеющихся. Это число сочетаний из 25 элементов по 2, которое вычисляется по формуле $C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$n = C_{25}^2 = \frac{25!}{2!(25-2)!} = \frac{25 \cdot 24}{2 \cdot 1} = 300$.

Таким образом, существует 300 различных способов распределить двух друзей по имеющимся местам.

Теперь найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это ситуация, когда оба друга служат в одной и той же части. Это событие может произойти в трех несовместных случаях: они оба служат в первой, во второй или в третьей части. Общее число благоприятных исходов будет равно сумме исходов для каждого из этих случаев.

1. Оба друга служат в первой части (где 7 мест). Число способов выбрать 2 места для них из 7 имеющихся:

$m_1 = C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.

2. Оба друга служат во второй части (где 12 мест). Число способов выбрать 2 места для них из 12 имеющихся:

$m_2 = C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$.

3. Оба друга служат в третьей части (где 6 мест). Число способов выбрать 2 места для них из 6 имеющихся:

$m_3 = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Суммируем число благоприятных исходов для всех трех случаев:

$m = m_1 + m_2 + m_3 = 21 + 66 + 15 = 102$.

Теперь, зная общее число исходов и число благоприятных исходов, можем вычислить вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{102}{300}$.

Сократим полученную дробь:

$P = \frac{102 : 6}{300 : 6} = \frac{17}{50}$.

Вероятность также можно выразить в виде десятичной дроби: $P = 0.34$.

Ответ: $\frac{17}{50}$