gdz.top
Номер 142, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. Вариант 2. Бином Ньютона - номер 142, страница 61.
№141
№142 (с. 61)
Условие. №142 (с. 61)
142. В выражении $(x^5 + \frac{1}{x})^n$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Известно, что пятый член разложения имеет вид $15x^6$. Найдите $n$.
Решение. №142 (с. 61)
Для разложения выражения $(a+b)^n$ по формуле бинома Ньютона используется формула общего $(k+1)$-го члена разложения:
$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.
В данном выражении $(x^5 + \frac{1}{x})^n$ имеем $a = x^5$ и $b = \frac{1}{x} = x^{-1}$.
Тогда общий член разложения для этого выражения будет иметь вид:
$T_{k+1} = C_n^k (x^5)^{n-k} (x^{-1})^k = C_n^k x^{5(n-k)} x^{-k} = C_n^k x^{5n-5k-k} = C_n^k x^{5n-6k}$
По условию задачи, пятый член разложения равен $15x^6$.
Пятый член соответствует значению $k+1=5$, откуда $k=4$.
Подставим $k=4$ в формулу общего члена:
$T_5 = C_n^4 x^{5n-6 \cdot 4} = C_n^4 x^{5n-24}$
Теперь приравняем это выражение к данному в условии:
$C_n^4 x^{5n-24} = 15x^6$
Из этого равенства следует система из двух уравнений: одно для коэффициентов, другое для показателей степени:
1) $C_n^4 = 15$
2) $5n - 24 = 6$
Решим второе, более простое уравнение:
$5n = 6 + 24$
$5n = 30$
$n = 6$
Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $n=6$ первому уравнению. Вычислим $C_6^4$:
$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$
Так как $C_6^4 = 15$, первое уравнение также выполняется. Следовательно, значение $n=6$ является решением задачи.
Ответ: 6
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 142 расположенного на странице 61 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №142 (с. 61), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.