Страница 69 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Решите уравнение:

1) $3 \cdot 16^x + 36^x - 2 \cdot 81^x = 0;$

2) $81 \cdot 4^x - 78 \cdot 6^x + 16 \cdot 9^x = 0.$

1) $3 \cdot 16^x + 36^x - 2 \cdot 81^x = 0$

Заметим, что основания степеней можно представить через $4$ и $9$: $16 = 4^2$, $36 = 4 \cdot 9$, $81 = 9^2$. Перепишем уравнение:

$3 \cdot (4^2)^x + (4 \cdot 9)^x - 2 \cdot (9^2)^x = 0$

$3 \cdot (4^x)^2 + 4^x \cdot 9^x - 2 \cdot (9^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $81^x = (9^x)^2 > 0$ для любого $x$, разделим обе части уравнения на $81^x$:

$\frac{3 \cdot (4^x)^2}{(9^x)^2} + \frac{4^x \cdot 9^x}{(9^x)^2} - \frac{2 \cdot (9^x)^2}{(9^x)^2} = 0$

$3 \cdot \left(\frac{4^x}{9^x}\right)^2 + \frac{4^x}{9^x} - 2 = 0$

$3 \cdot \left(\left(\frac{4}{9}\right)^x\right)^2 + \left(\frac{4}{9}\right)^x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$3t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним. Рассматриваем только $t_1 = \frac{2}{3}$.

Вернемся к исходной переменной:

$\left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{2}{3}$

Представим левую часть как степень с основанием $\frac{2}{3}$:

$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

Приравниваем показатели степеней:

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) $81 \cdot 4^x - 78 \cdot 6^x + 16 \cdot 9^x = 0$

Заметим, что основания степеней можно представить через $2$ и $3$: $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$. Перепишем уравнение:

$81 \cdot (2^2)^x - 78 \cdot (2 \cdot 3)^x + 16 \cdot (3^2)^x = 0$

$81 \cdot (2^x)^2 - 78 \cdot 2^x \cdot 3^x + 16 \cdot (3^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $9^x = (3^x)^2 > 0$ для любого $x$, разделим обе части уравнения на $9^x$:

$\frac{81 \cdot (2^x)^2}{(3^x)^2} - \frac{78 \cdot 2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} + \frac{16 \cdot (3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$

$81 \cdot \left(\frac{2^x}{3^x}\right)^2 - 78 \cdot \frac{2^x}{3^x} + 16 = 0$

$81 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)^2 - 78 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 16 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$. Уравнение принимает вид:

$81y^2 - 78y + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-78)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 16 = 6084 - 5184 = 900$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{78 + \sqrt{900}}{2 \cdot 81} = \frac{78 + 30}{162} = \frac{108}{162} = \frac{2}{3}$

$y_2 = \frac{78 - \sqrt{900}}{2 \cdot 81} = \frac{78 - 30}{162} = \frac{48}{162} = \frac{8}{27}$

Оба корня удовлетворяют условию $y > 0$.

Вернемся к исходной переменной. Рассмотрим два случая:

1. $y_1 = \frac{2}{3}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$x_1 = 1$

2. $y_2 = \frac{8}{27}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{8}{27}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2^3}{3^3} = \left(\frac{2}{3}\right)^3$

$x_2 = 3$

Ответ: $1; 3$

14. Решите уравнение:

1) $3x = 30 - x$;

2) $2^{x+1} + 3^{x+1} = 2$;

3) $5^{-\sin x} = 0,2 - x^2$.

1) $3^x = 30 - x$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 30 - x$.

Функция $f(x) = 3^x$ является показательной с основанием $3 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Функция $g(x) = 30 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $k=-1$, следовательно, она строго убывает на всей своей области определения.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более одного раза. Это означает, что уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень методом подбора, проверяя целые значения $x$.

При $x = 3$ левая часть уравнения равна $3^3 = 27$.

Правая часть уравнения равна $30 - 3 = 27$.

Так как $27 = 27$, то $x = 3$ является корнем уравнения.

Поскольку корень может быть только один, мы нашли единственное решение.

Ответ: $3$.

2) $2^{x+1} + 3^{x+1} = 2$

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = 2^{x+1} + 3^{x+1}$.

Эта функция представляет собой сумму двух показательных функций: $y_1 = 2^{x+1}$ и $y_2 = 3^{x+1}$. Обе эти функции являются строго возрастающими, так как их основания ($2$ и $3$) больше 1.

Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает на всей своей области определения.

Это означает, что любое свое значение она принимает только один раз. Таким образом, уравнение $f(x) = 2$ может иметь не более одного корня.

Найдем корень методом подбора.

Проверим значение $x = -1$:

$2^{-1+1} + 3^{-1+1} = 2^0 + 3^0 = 1 + 1 = 2$.

Левая часть равна правой части ($2=2$), значит, $x = -1$ является корнем уравнения.

Так как это единственный возможный корень, он и является решением.

Ответ: $-1$.

3) $5^{-\sin x} = 0.2 - x^2$

Для решения этого уравнения оценим область значений левой и правой частей.

1. Оценим левую часть: $f(x) = 5^{-\sin x}$.

Известно, что область значений синуса: $-1 \le \sin x \le 1$.

Умножив неравенство на $-1$, получим: $-1 \le -\sin x \le 1$.

Показательная функция $y = 5^t$ с основанием $5 > 1$ является возрастающей, поэтому для $f(x)$ имеем:

$5^{-1} \le 5^{-\sin x} \le 5^1$

$0.2 \le 5^{-\sin x} \le 5$

Таким образом, значение левой части уравнения всегда не меньше $0.2$.

2. Оценим правую часть: $g(x) = 0.2 - x^2$.

Квадрат любого действительного числа неотрицателен: $x^2 \ge 0$.

Тогда $-x^2 \le 0$.

Прибавив $0.2$ к обеим частям, получим:

$0.2 - x^2 \le 0.2$

Таким образом, значение правой части уравнения всегда не больше $0.2$.

Равенство $f(x) = g(x)$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $0.2$. Это эквивалентно системе уравнений:

$\begin{cases} 5^{-\sin x} = 0.2 \\ 0.2 - x^2 = 0.2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы:

$0.2 - x^2 = 0.2 \implies -x^2 = 0 \implies x = 0$.

Теперь решим первое уравнение системы:

$5^{-\sin x} = 0.2 \implies 5^{-\sin x} = \frac{1}{5} \implies 5^{-\sin x} = 5^{-1}$.

Отсюда следует, что $-\sin x = -1$, или $\sin x = 1$.

Система уравнений свелась к:

$\begin{cases} x = 0 \\ \sin x = 1 \end{cases}$

Подставим значение $x=0$ из первого уравнения во второе: $\sin(0) = 0$. Получаем $0=1$ — это неверное равенство. Следовательно, система не имеет решений.

Это означает, что исходное уравнение также не имеет корней.

Ответ: корней нет.

15. При каких значениях $a$ уравнение $49^x - (a + 5) \cdot 7^x + 7a - 14 = 0$ имеет один действительный корень?

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2$. Перепишем уравнение:

$(7^x)^2 - (a + 5) \cdot 7^x + 7a - 14 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$. Поскольку показательная функция $y = 7^x$ принимает только положительные значения ($7^x > 0$ для любого действительного $x$), то для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t > 0$. Каждому положительному значению $t$ соответствует единственное значение $x = \log_7 t$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - (a + 5)t + 7a - 14 = 0$

Исходное уравнение имеет один действительный корень $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень $t$.

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант:

$D = (-(a + 5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7a - 14) = (a + 5)^2 - 28a + 56 = a^2 + 10a + 25 - 28a + 56 = a^2 - 18a + 81 = (a - 9)^2$

Поскольку дискриминант является полным квадратом, корни уравнения легко находятся:

$t = \frac{(a + 5) \pm \sqrt{(a - 9)^2}}{2} = \frac{(a + 5) \pm |a - 9|}{2}$

Таким образом, корнями уравнения являются $t_1 = \frac{a + 5 + |a - 9|}{2}$ и $t_2 = \frac{a + 5 - |a - 9|}{2}$.

Для дальнейшего анализа раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $a - 9 \ge 0$, то есть $a \ge 9$.

В этом случае $|a - 9| = a - 9$. Найдем корни:

$t_1 = \frac{a + 5 + (a - 9)}{2} = \frac{2a - 4}{2} = a - 2$

$t_2 = \frac{a + 5 - (a - 9)}{2} = \frac{a + 5 - a + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Один из корней, $t_2 = 7$, является положительным. Чтобы уравнение имело единственный положительный корень, возможны два варианта:

1. Корни совпадают: $t_1 = t_2$. Это происходит, когда дискриминант равен нулю, т.е. $a = 9$. При $a = 9$, корень $t = 7 > 0$. Это значение удовлетворяет условию $a \ge 9$. Следовательно, $a=9$ является решением.

2. Один корень положителен, а другой — неположителен ($t \le 0$). Поскольку $t_2 = 7 > 0$, необходимо, чтобы $t_1 \le 0$.

$a - 2 \le 0 \implies a \le 2$.

Однако, этот случай мы рассматриваем при условии $a \ge 9$. Система неравенств $\begin{cases} a \le 2 \\ a \ge 9 \end{cases}$ не имеет решений.

Таким образом, в первом случае мы получили единственное решение $a = 9$.

Случай 2: $a - 9 < 0$, то есть $a < 9$.

В этом случае $|a - 9| = -(a - 9) = 9 - a$. Найдем корни:

$t_1 = \frac{a + 5 + (9 - a)}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$t_2 = \frac{a + 5 - (9 - a)}{2} = \frac{a + 5 - 9 + a}{2} = \frac{2a - 4}{2} = a - 2$

Один из корней, $t_1 = 7$, является положительным. Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, второй корень $t_2$ должен быть неположительным ($t_2 \le 0$).

$a - 2 \le 0 \implies a \le 2$.

Это условие необходимо совместить с условием рассматриваемого случая, то есть $a < 9$. Решением системы $\begin{cases} a \le 2 \\ a < 9 \end{cases}$ является $a \le 2$.

При $a = 2$ корни для $t$ равны $7$ и $0$. Корень $t=0$ не дает решения для $x$ (т.к. $7^x \ne 0$), а $t=7$ дает один корень $x=1$.

При $a < 2$ корень $t_2 = a - 2$ становится отрицательным. Отрицательный корень для $t$ не дает решения для $x$, а корень $t=7$ дает один корень $x=1$.

Следовательно, все значения $a \le 2$ являются решениями.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях ($a=9$ из первого случая и $a \le 2$ из второго), получаем, что исходное уравнение имеет один действительный корень при $a \in (-\infty; 2] \cup \{9\}$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2] \cup \{9\}$.

16. При каких значениях $a$ уравнение $100^x - (a - 5) \cdot 10^x - 2a^2 + 14a - 24 = 0$ не имеет действительных корней?

Данное уравнение является показательным. Чтобы его решить, сделаем замену переменной. Пусть $t = 10^x$. Так как показательная функция $y = 10^x$ принимает только положительные значения, то должно выполняться условие $t > 0$.

Заметим, что $100^x = (10^2)^x = (10^x)^2 = t^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - (a - 5)t - (2a^2 - 14a + 24) = 0$.

Это квадратное уравнение относительно переменной $t$. Исходное уравнение не имеет действительных корней $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение не имеет положительных корней $t$. Квадратное уравнение не будет иметь положительных корней в двух случаях: либо оно не имеет действительных корней вовсе, либо все его действительные корни неположительны.

Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: Квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Это условие выполняется, если дискриминант $D$ квадратного уравнения отрицателен ($D < 0$).

Найдем дискриминант уравнения $t^2 - (a - 5)t - (2a^2 - 14a + 24) = 0$:

$D = (-(a - 5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2a^2 - 14a + 24))$

$D = (a - 5)^2 + 4(2a^2 - 14a + 24)$

$D = a^2 - 10a + 25 + 8a^2 - 56a + 96$

$D = 9a^2 - 66a + 121$

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом:

$D = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 11 + 11^2 = (3a - 11)^2$.

Условие $D < 0$ принимает вид $(3a - 11)^2 < 0$. Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Следовательно, этот случай невозможен, и уравнение всегда имеет действительные корни.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет действительные корни, и все они неположительные.

Пусть $t_1$ и $t_2$ – корни квадратного уравнения. Условие, что оба корня неположительные ($t_1 \le 0$ и $t_2 \le 0$), для приведенного квадратного уравнения с ветвями параболы вверх ($t^2+...$) равносильно системе из трех условий:

1. Дискриминант $D \ge 0$.

2. Сумма корней $t_1 + t_2 \le 0$.

3. Произведение корней $t_1 \cdot t_2 \ge 0$.

Применим эти условия к нашему уравнению:

1. $D = (3a - 11)^2 \ge 0$. Это условие выполняется для всех действительных $a$.

2. Сумма корней. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -(-(a-5)) = a - 5$. Требуем выполнения условия $t_1 + t_2 \le 0$, откуда получаем $a - 5 \le 0 \implies a \le 5$.

3. Произведение корней. По теореме Виета, $t_1 \cdot t_2 = -(2a^2 - 14a + 24) = -2a^2 + 14a - 24$. Требуем выполнения условия $t_1 \cdot t_2 \ge 0$, откуда получаем $-2a^2 + 14a - 24 \ge 0$.

Решим последнее неравенство. Разделим обе его части на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный:

$a^2 - 7a + 12 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 7a + 12 = 0$. По теореме Виета, корни равны $a_1 = 3$ и $a_2 = 4$. Так как парабола $y = a^2 - 7a + 12$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $a^2 - 7a + 12 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $3 \le a \le 4$.

Для нахождения итогового решения необходимо, чтобы все условия выполнялись одновременно. Составим систему из полученных неравенств:

$\begin{cases} a \le 5 \\ 3 \le a \le 4 \end{cases}$

Решением этой системы является пересечение промежутков, что дает $3 \le a \le 4$.

Таким образом, при $a \in [3, 4]$ исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $a \in [3; 4]$.

17. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и их множествами решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $6x \ge 6$

Б) $(\frac{1}{6})^x \ge 6$

В) $6x \le 6$

Г) $(\frac{1}{6})^x \le 6$

Множества решений

1) $[1; +\infty)$

2) $[-1; +\infty)$

3) $(-\infty; 1]$

4) $(-\infty; -1]$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А Б В Г

Для установления соответствия решим каждое неравенство.

А) $6x \ge 6$

Это линейное неравенство. Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 6. Поскольку 6 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \ge \frac{6}{6}$

$x \ge 1$

Множество решений этого неравенства представляет собой промежуток от 1 (включительно) до $+\infty$. В виде интервала это записывается как $[1; +\infty)$. Это соответствует множеству решений под номером 1.

Ответ: 1

Б) $(\frac{1}{6})^x \ge 6$

Это показательное неравенство. Приведем обе части к одному основанию — 6. Мы знаем, что $\frac{1}{6} = 6^{-1}$, поэтому неравенство можно переписать так:

$(6^{-1})^x \ge 6^1$

$6^{-x} \ge 6^1$

Так как основание степени 6 больше 1, показательная функция $y=6^t$ является возрастающей. Это означает, что для показателей степеней сохраняется тот же знак неравенства:

$-x \ge 1$

Теперь умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -1$

Множество решений — это промежуток $(-\infty; -1]$. Это соответствует множеству решений под номером 4.

Ответ: 4

В) $6x \le 6$

Это линейное неравенство. Разделим обе части на 6:

$x \le \frac{6}{6}$

$x \le 1$

Множество решений — это промежуток $(-\infty; 1]$. Это соответствует множеству решений под номером 3.

Ответ: 3

Г) $(\frac{1}{6})^x \le 6$

Это показательное неравенство. Как и в пункте Б, приведем обе части к основанию 6:

$(6^{-1})^x \le 6^1$

$6^{-x} \le 6^1$

Поскольку основание 6 > 1, знак неравенства для показателей сохраняется:

$-x \le 1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x \ge -1$

Множество решений — это промежуток $[-1; +\infty)$. Это соответствует множеству решений под номером 2.

Ответ: 2

Итоговая таблица соответствий: