Страница 59 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых все цифры различны, причём три первые цифры нечётные, а две последние — чётные?

Для решения этой задачи необходимо использовать принципы комбинаторики, в частности, правило произведения. Нам нужно найти количество пятизначных чисел, удовлетворяющих трём условиям:
1. Все цифры в числе различны.
2. Первые три цифры — нечётные.
3. Последние две цифры — чётные.

Сначала определим наборы цифр, которые мы можем использовать:
- Множество нечётных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}. Всего 5 цифр.
- Множество чётных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}. Всего 5 цифр.

Процесс формирования пятизначного числа можно разбить на два независимых этапа: выбор первых трёх (нечётных) цифр и выбор последних двух (чётных) цифр.

Шаг 1: Выбор первых трёх нечётных цифр.
Нам нужно выбрать 3 различные цифры из 5 доступных нечётных и расставить их по первым трём позициям. Количество способов это сделать равно числу размещений из 5 элементов по 3.

• Для первой цифры есть 5 вариантов (любая из {1, 3, 5, 7, 9}).
• Для второй цифры остаётся 4 варианта (так как цифры не должны повторяться).
• Для третьей цифры остаётся 3 варианта.

Число способов для первых трёх цифр: $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Шаг 2: Выбор последних двух чётных цифр.
Аналогично, нам нужно выбрать 2 различные цифры из 5 доступных чётных и расставить их по последним двум позициям. Количество способов равно числу размещений из 5 элементов по 2.

• Для четвёртой цифры есть 5 вариантов (любая из {0, 2, 4, 6, 8}).
• Для пятой цифры остаётся 4 варианта.

Число способов для последних двух цифр: $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$.

Шаг 3: Общее количество чисел.
По правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможных чисел равно произведению количества способов на каждом шаге. Поскольку множества нечётных и чётных цифр не пересекаются, условие различия всех пяти цифр в числе выполняется автоматически. Также первая цифра числа не может быть нулём, так как она выбирается из нечётных.
Общее количество пятизначных чисел: $N = A_5^3 \times A_5^2 = 60 \times 20 = 1200$.

Ответ: 1200

119. В воинском подразделении служат 5 сержантов и 8 рядовых солдат. Сколько существует способов расставить по одному часовому на семи этажах здания, если на первом и последнем этажах должны дежурить сержанты?

Для решения задачи разобьем процесс расстановки часовых на последовательные этапы и воспользуемся правилом произведения из комбинаторики.

1. Выбор и расстановка сержантов на первый и последний этажи.

По условию, на первом и седьмом (последнем) этажах должны дежурить сержанты. Всего в подразделении 5 сержантов. Нам нужно выбрать 2 из 5 сержантов и разместить их на двух этих постах. Поскольку порядок их расстановки важен (кто именно стоит на первом этаже, а кто на последнем), мы используем формулу для числа размещений:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В данном случае, $n=5$ (общее число сержантов), а $k=2$ (число постов для сержантов).
Количество способов выбрать и расставить двух сержантов равно:
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$ способов.

2. Расстановка остальных часовых на оставшиеся этажи.

После того как два сержанта были назначены на посты, нам необходимо расставить часовых на оставшиеся $7 - 2 = 5$ этажей (со второго по шестой).
Определим, сколько человек осталось для этих постов. Изначально было 5 сержантов и 8 рядовых (всего 13 человек). После назначения двух сержантов осталось $5 - 2 = 3$ сержанта и 8 рядовых, что в сумме составляет $3 + 8 = 11$ человек.
Теперь нужно выбрать 5 человек из этих 11 и расставить их на 5 свободных этажах. Это снова является задачей на размещения, так как важен порядок расстановки по этажам.
Число способов сделать это равно:
$A_{11}^5 = \frac{11!}{(11-5)!} = \frac{11!}{6!} = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 55440$ способов.

3. Нахождение общего числа способов.

Согласно правилу произведения, общее число способов расстановки всех часовых равно произведению числа способов на каждом из этапов.
Общее число способов = (число способов расставить сержантов) × (число способов расставить остальных).
$N = A_5^2 \times A_{11}^5 = 20 \times 55440 = 1108800$.

Ответ: 1108800

120. Вычислите:

1) $C_7^3$;

2) $C_{27}^1$;

3) $C_5^3 + C_5^0$.

Для вычисления числа сочетаний из $n$ по $k$ (обозначается как $C_n^k$) используется следующая формула:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

1) Чтобы вычислить $C_7^3$, мы используем формулу с $n=7$ и $k=3$.
$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!}$
Теперь распишем факториалы и выполним сокращение:
$C_7^3 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3! \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35$.
Ответ: 35

2) Чтобы вычислить $C_{27}^1$, мы используем формулу с $n=27$ и $k=1$.
$C_{27}^1 = \frac{27!}{1!(27-1)!} = \frac{27!}{1!26!}$
Сокращаем $26!$ в числителе и знаменателе:
$C_{27}^1 = \frac{27 \times 26!}{1 \times 26!} = \frac{27}{1} = 27$.
Также можно воспользоваться свойством сочетаний, согласно которому $C_n^1 = n$.
Ответ: 27

3) Чтобы вычислить $C_5^3 + C_5^0$, нам нужно найти значение каждого слагаемого по отдельности, а затем сложить их.
Вычислим первое слагаемое, $C_5^3$, где $n=5$ и $k=3$:
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times (2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
Вычислим второе слагаемое, $C_5^0$, где $n=5$ и $k=0$:
$C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = \frac{5!}{0!5!}$.
По определению, факториал нуля $0! = 1$.
$C_5^0 = \frac{5!}{1 \times 5!} = 1$.
Теперь сложим полученные результаты:
$C_5^3 + C_5^0 = 10 + 1 = 11$.
Ответ: 11

121. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $C_x^2 = 91;$

2) $C_{x+3}^3 = 12(x + 1);$

3) $3C_{x+1}^2 - 4A_x^2 = -2x.$

1) $C_x^2 = 91$

По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условиями: $x$ — натуральное число и $x \ge 2$.

Распишем левую часть уравнения:

$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{x(x-1)}{2} = 91$

Умножим обе части на 2:

$x(x-1) = 182$

$x^2 - x - 182 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182) = 1 + 728 = 729 = 27^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 27}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 27}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Согласно условию, $x$ должно быть натуральным числом. Также из ОДЗ мы знаем, что $x \ge 2$. Корень $x_2 = -13$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением. Корень $x_1 = 14$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $14 \ge 2$.

Ответ: $14$.

2) $C_{x+3}^3 = 12(x+1)$

По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. ОДЗ: $x$ — натуральное число, и $x+3 \ge 3$, что означает $x \ge 0$. Так как $x$ — натуральное, то $x \ge 1$.

Распишем левую часть уравнения:

$C_{x+3}^3 = \frac{(x+3)!}{3!(x+3-3)!} = \frac{(x+3)!}{6 \cdot x!} = \frac{(x+3)(x+2)(x+1)x!}{6 \cdot x!} = \frac{(x+3)(x+2)(x+1)}{6}$

Подставим это в уравнение:

$\frac{(x+3)(x+2)(x+1)}{6} = 12(x+1)$

Так как $x$ — натуральное число, $x \ge 1$, следовательно $x+1 > 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(x+1)$:

$\frac{(x+3)(x+2)}{6} = 12$

$(x+3)(x+2) = 72$

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 2x + 3x + 6 = 72$

$x^2 + 5x - 66 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) = 25 + 264 = 289 = 17^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 17}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 17}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

По условию задачи $x$ должен быть натуральным числом. Корень $x_2 = -11$ не удовлетворяет этому условию. Корень $x_1 = 6$ является натуральным числом и удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 1$).

Ответ: $6$.

3) $3C_{x+1}^2 - 4A_x^2 = -2x$

Используем формулы для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

ОДЗ для $x$ определяется условиями: $x$ — натуральное число, $x+1 \ge 2$ (для $C_{x+1}^2$) и $x \ge 2$ (для $A_x^2$). Объединяя эти условия, получаем $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$.

Выразим $C_{x+1}^2$ и $A_x^2$:

$C_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{2!(x+1-2)!} = \frac{(x+1)!}{2(x-1)!} = \frac{(x+1)x(x-1)!}{2(x-1)!} = \frac{x(x+1)}{2}$

$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!} = x(x-1)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \cdot \frac{x(x+1)}{2} - 4 \cdot x(x-1) = -2x$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$3x(x+1) - 8x(x-1) = -4x$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 3x - 8x^2 + 8x = -4x$

Приведем подобные слагаемые:

$-5x^2 + 11x = -4x$

Перенесем все члены в левую часть:

$-5x^2 + 15x = 0$

Вынесем общий множитель $-5x$ за скобки:

$-5x(x - 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 3$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in \mathbb{N}, x \ge 2$).

Корень $x_1 = 0$ не является натуральным числом и не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Корень $x_2 = 3$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $3 \ge 2$.

Ответ: $3$.

122. На окружности отметили 22 точки. Сколько существует шестиугольников с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы образовать шестиугольник, необходимо выбрать 6 вершин из 22 отмеченных на окружности точек. Так как порядок выбора точек для построения многоугольника не важен, задача сводится к нахождению числа сочетаний из 22 элементов по 6. Тот факт, что точки лежат на окружности, гарантирует, что никакие три точки не лежат на одной прямой, поэтому любой выбор 6 точек однозначно определяет шестиугольник.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее количество точек $n=22$, а количество вершин в шестиугольнике $k=6$.

Подставим эти значения в формулу:

$C_{22}^6 = \frac{22!}{6!(22-6)!} = \frac{22!}{6!16!}$

Распишем и вычислим значение этого выражения:

$C_{22}^6 = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Для удобства вычислений сократим дробь:

$C_{22}^6 = \frac{22 \times 21 \times (5 \times 4) \times 19 \times (6 \times 3) \times 17}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{22 \times 21 \times 19 \times 17}{2}$

$C_{22}^6 = 11 \times 21 \times 19 \times 17$

Теперь вычислим произведение:

$11 \times 21 = 231$

$19 \times 17 = 323$

$231 \times 323 = 74613$

Таким образом, из 22 точек на окружности можно составить 74613 различных шестиугольников.

Ответ: 74613

123. В состав баскетбольной команды входит 16 игроков. Сколько существует способов сформировать пятёрку игроков, которая начнёт матч?

Для того чтобы определить, сколько существует способов сформировать пятерку игроков из 16, необходимо вычислить число сочетаний. Мы используем сочетания, потому что порядок, в котором выбираются игроки, не имеет значения.

Общее число игроков в команде $n = 16$. Число игроков, которых нужно выбрать в стартовую пятерку, $k = 5$.

Формула для расчета числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим в формулу наши значения:
$C_{16}^5 = \frac{16!}{5!(16-5)!} = \frac{16!}{5!11!}$

Теперь распишем факториалы и проведем вычисления. Можно сократить $11!$ в числителе и знаменателе:
$C_{16}^5 = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 11!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Для удобства вычислений сократим множители в полученной дроби:
$C_{16}^5 = \frac{16 \cdot (5 \cdot 3) \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Сокращаем $5$ и $3$:
$C_{16}^5 = \frac{16 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{16 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{8}$
Сокращаем $16$ и $8$:
$C_{16}^5 = 2 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 = 4368$

Следовательно, существует 4368 способов сформировать стартовую пятерку игроков.

Ответ: 4368

124. На окружности отметили 32 точки. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: восемнадцатиугольников или четырнадцатиугольников?

Чтобы определить, каких многоугольников больше, необходимо вычислить и сравнить количество способов, которыми можно выбрать вершины для каждого из них из 32 данных точек. Выбор $k$ вершин из $n$ точек для построения $k$-угольника — это задача на нахождение числа сочетаний, поскольку порядок выбора вершин не влияет на итоговый многоугольник. Число сочетаний из $n$ по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее количество точек $n = 32$.

Количество способов составить семнадцатиугольник ($k=17$) равно числу сочетаний из 32 по 17:
$N_{17} = C_{32}^{17} = \frac{32!}{17!(32-17)!} = \frac{32!}{17!15!}$

Количество способов составить четырнадцатиугольник ($k=14$) равно числу сочетаний из 32 по 14:
$N_{14} = C_{32}^{14} = \frac{32!}{14!(32-14)!} = \frac{32!}{14!18!}$

Для сравнения этих двух значений воспользуемся свойством симметрии биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
Применим это свойство к числу семнадцатиугольников:
$C_{32}^{17} = C_{32}^{32-17} = C_{32}^{15}$
Теперь задача сводится к сравнению $C_{32}^{15}$ и $C_{32}^{14}$.

Известно, что для заданного $n$ значение $C_n^k$ увеличивается при увеличении $k$ от 0 до $n/2$. В нашем случае $n/2 = 32/2 = 16$. Так как $14 < 15$ и оба числа меньше 16, то выполняется неравенство $C_{32}^{14} < C_{32}^{15}$.

Отсюда следует, что $C_{32}^{14} < C_{32}^{17}$, а значит, семнадцатиугольников можно образовать больше, чем четырнадцатиугольников.

Ответ: семнадцатиугольников больше.

125. На окружности отметили 46 зелёных точек и 47 красных точек. В каком из множеств больше элементов: в множестве пятнадцатиугольников и шестнадцатиугольников с вершинами в зелёных точках или в множестве шестнадцатиугольников с вершинами в красных точках?

Найдем количество элементов в первом множестве (пятнадцатиугольники и шестнадцатиугольники с вершинами в зелёных точках)

На окружности отмечено 46 зелёных точек. Чтобы составить многоугольник, нужно выбрать определённое количество вершин из этих точек. Порядок выбора вершин не имеет значения.

Количество способов выбрать 15 вершин из 46 зелёных точек для построения пятнадцатиугольника равно числу сочетаний из 46 по 15. Это записывается как $C_{46}^{15}$.

Количество способов выбрать 16 вершин из 46 зелёных точек для построения шестнадцатиугольника равно $C_{46}^{16}$.

Общее количество элементов в первом множестве — это сумма этих двух величин: $C_{46}^{15} + C_{46}^{16}$.

Найдем количество элементов во втором множестве (шестнадцатиугольники с вершинами в красных точках)

На окружности отмечено 47 красных точек. Количество способов выбрать 16 вершин из 47 красных точек для построения шестнадцатиугольника равно числу сочетаний из 47 по 16, то есть $C_{47}^{16}$.

Сравним количество элементов в этих двух множествах

Нам необходимо сравнить два значения: $C_{46}^{15} + C_{46}^{16}$ и $C_{47}^{16}$.

Для этого воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов, известным как тождество Паскаля: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$

В нашем случае, если мы возьмём $n = 46$ и $k = 16$, то тождество примет вид: $C_{46}^{16} + C_{46}^{16-1} = C_{46+1}^{16}$

$C_{46}^{16} + C_{46}^{15} = C_{47}^{16}$

Таким образом, количество элементов в первом множестве ($C_{46}^{15} + C_{46}^{16}$) в точности равно количеству элементов во втором множестве ($C_{47}^{16}$).

Ответ: Количество элементов в обоих множествах одинаково.

126. В воинском подразделении служат 7 офицеров и 30 рядовых солдат. Сколько существует способов сформировать группу для участия в параде, которая должна состоять из трёх офицеров и 12 рядовых?

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы комбинаторики. Задача сводится к двум независимым выборам: выбор офицеров и выбор рядовых. Поскольку порядок выбора людей внутри каждой группы не важен, мы будем использовать сочетания.

Общее количество способов формирования группы будет равно произведению числа способов выбора офицеров и числа способов выбора рядовых.

1. Вычисление количества способов выбрать офицеров.

Нужно выбрать 3 офицеров из 7 имеющихся. Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=7$ и $k=3$.

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35$

Таким образом, существует 35 способов выбрать 3 офицеров из 7.

2. Вычисление количества способов выбрать рядовых.

Нужно выбрать 12 рядовых из 30 имеющихся. Используем ту же формулу сочетаний, где $n=30$ и $k=12$.

$C_{30}^{12} = \frac{30!}{12!(30-12)!} = \frac{30!}{12!18!}$

Это большое число, которое можно вычислить, сократив дробь:

$C_{30}^{12} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 86\,493\,225$

Таким образом, существует 86 493 225 способов выбрать 12 рядовых из 30.

3. Вычисление общего количества способов.

Чтобы найти общее количество способов сформировать требуемую группу, необходимо перемножить количество способов выбора офицеров и количество способов выбора рядовых (согласно правилу произведения в комбинаторике).

Общее число способов = $C_7^3 \times C_{30}^{12} = 35 \times 86\,493\,225 = 3\,027\,262\,875$

Ответ: $3\,027\,262\,875$ способов.