Номер 121, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $C_x^2 = 91;$

2) $C_{x+3}^3 = 12(x + 1);$

3) $3C_{x+1}^2 - 4A_x^2 = -2x.$

1) $C_x^2 = 91$

По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условиями: $x$ — натуральное число и $x \ge 2$.

Распишем левую часть уравнения:

$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{x(x-1)}{2} = 91$

Умножим обе части на 2:

$x(x-1) = 182$

$x^2 - x - 182 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182) = 1 + 728 = 729 = 27^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 27}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 27}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Согласно условию, $x$ должно быть натуральным числом. Также из ОДЗ мы знаем, что $x \ge 2$. Корень $x_2 = -13$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением. Корень $x_1 = 14$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $14 \ge 2$.

Ответ: $14$.

2) $C_{x+3}^3 = 12(x+1)$

По определению числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. ОДЗ: $x$ — натуральное число, и $x+3 \ge 3$, что означает $x \ge 0$. Так как $x$ — натуральное, то $x \ge 1$.

Распишем левую часть уравнения:

$C_{x+3}^3 = \frac{(x+3)!}{3!(x+3-3)!} = \frac{(x+3)!}{6 \cdot x!} = \frac{(x+3)(x+2)(x+1)x!}{6 \cdot x!} = \frac{(x+3)(x+2)(x+1)}{6}$

Подставим это в уравнение:

$\frac{(x+3)(x+2)(x+1)}{6} = 12(x+1)$

Так как $x$ — натуральное число, $x \ge 1$, следовательно $x+1 > 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(x+1)$:

$\frac{(x+3)(x+2)}{6} = 12$

$(x+3)(x+2) = 72$

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 2x + 3x + 6 = 72$

$x^2 + 5x - 66 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) = 25 + 264 = 289 = 17^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 17}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 17}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

По условию задачи $x$ должен быть натуральным числом. Корень $x_2 = -11$ не удовлетворяет этому условию. Корень $x_1 = 6$ является натуральным числом и удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 1$).

Ответ: $6$.

3) $3C_{x+1}^2 - 4A_x^2 = -2x$

Используем формулы для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

ОДЗ для $x$ определяется условиями: $x$ — натуральное число, $x+1 \ge 2$ (для $C_{x+1}^2$) и $x \ge 2$ (для $A_x^2$). Объединяя эти условия, получаем $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$.

Выразим $C_{x+1}^2$ и $A_x^2$:

$C_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{2!(x+1-2)!} = \frac{(x+1)!}{2(x-1)!} = \frac{(x+1)x(x-1)!}{2(x-1)!} = \frac{x(x+1)}{2}$

$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!} = x(x-1)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \cdot \frac{x(x+1)}{2} - 4 \cdot x(x-1) = -2x$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$3x(x+1) - 8x(x-1) = -4x$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 3x - 8x^2 + 8x = -4x$

Приведем подобные слагаемые:

$-5x^2 + 11x = -4x$

Перенесем все члены в левую часть:

$-5x^2 + 15x = 0$

Вынесем общий множитель $-5x$ за скобки:

$-5x(x - 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 3$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in \mathbb{N}, x \ge 2$).

Корень $x_1 = 0$ не является натуральным числом и не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Корень $x_2 = 3$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $3 \ge 2$.

Ответ: $3$.