Номер 125, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. На окружности отметили 46 зелёных точек и 47 красных точек. В каком из множеств больше элементов: в множестве пятнадцатиугольников и шестнадцатиугольников с вершинами в зелёных точках или в множестве шестнадцатиугольников с вершинами в красных точках?

Найдем количество элементов в первом множестве (пятнадцатиугольники и шестнадцатиугольники с вершинами в зелёных точках)

На окружности отмечено 46 зелёных точек. Чтобы составить многоугольник, нужно выбрать определённое количество вершин из этих точек. Порядок выбора вершин не имеет значения.

Количество способов выбрать 15 вершин из 46 зелёных точек для построения пятнадцатиугольника равно числу сочетаний из 46 по 15. Это записывается как $C_{46}^{15}$.

Количество способов выбрать 16 вершин из 46 зелёных точек для построения шестнадцатиугольника равно $C_{46}^{16}$.

Общее количество элементов в первом множестве — это сумма этих двух величин: $C_{46}^{15} + C_{46}^{16}$.

Найдем количество элементов во втором множестве (шестнадцатиугольники с вершинами в красных точках)

На окружности отмечено 47 красных точек. Количество способов выбрать 16 вершин из 47 красных точек для построения шестнадцатиугольника равно числу сочетаний из 47 по 16, то есть $C_{47}^{16}$.

Сравним количество элементов в этих двух множествах

Нам необходимо сравнить два значения: $C_{46}^{15} + C_{46}^{16}$ и $C_{47}^{16}$.

Для этого воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов, известным как тождество Паскаля: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$

В нашем случае, если мы возьмём $n = 46$ и $k = 16$, то тождество примет вид: $C_{46}^{16} + C_{46}^{16-1} = C_{46+1}^{16}$

$C_{46}^{16} + C_{46}^{15} = C_{47}^{16}$

Таким образом, количество элементов в первом множестве ($C_{46}^{15} + C_{46}^{16}$) в точности равно количеству элементов во втором множестве ($C_{47}^{16}$).

Ответ: Количество элементов в обоих множествах одинаково.