Номер 132, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Прямые $a$, $b$ и $c$ параллельны, но не лежат в одной плоскости. На указанных прямых отметили соответственно 8, 10 и 11 точек. Сколько существует тетраэдров с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы построить тетраэдр, необходимо выбрать четыре вершины, которые не лежат в одной плоскости. В условии задачи даны три параллельные прямые $a$, $b$ и $c$, которые не лежат в одной плоскости. На прямой $a$ отмечено 8 точек, на прямой $b$ — 10 точек, и на прямой $c$ — 11 точек.

Рассмотрим, какие комбинации из четырех точек будут лежать в одной плоскости (т.е. будут копланарными) и, следовательно, не смогут образовать тетраэдр:

• Если все четыре точки выбраны с одной прямой, они коллинеарны, а значит и копланарны.
• Если точки выбраны только с двух прямых (например, с $a$ и $b$), они все будут лежать в плоскости, определяемой этими двумя параллельными прямыми, и тоже будут копланарны. Это относится к случаям, когда 3 точки взяты с одной прямой и 1 с другой, или когда 2 точки взяты с одной прямой и 2 с другой.

Единственный способ выбрать четыре не копланарные точки — это взять их со всех трех прямых. Поскольку всего нужно выбрать 4 точки, это означает, что с одной прямой нужно взять 2 точки, а с двух других — по одной. Например, если взять две точки с прямой $a$, одну с прямой $b$ и одну с прямой $c$, то эти точки не будут лежать в одной плоскости. Плоскость, проходящая через прямую $a$ и точку на прямой $b$, это та же плоскость, что содержит прямые $a$ и $b$. Точка на прямой $c$ не лежит в этой плоскости, так как по условию все три прямые не копланарны.

Таким образом, общее количество тетраэдров — это сумма способов выбрать 2 точки с одной прямой и по 1 точке с двух других. Рассмотрим все три возможных случая:

1. Две точки выбраны с прямой $a$ (из 8), по одной — с прямых $b$ (из 10) и $c$ (из 11). Число способов для этого случая вычисляется как произведение числа сочетаний: $C_8^2 \cdot C_{10}^1 \cdot C_{11}^1 = \frac{8!}{2!(8-2)!} \cdot 10 \cdot 11 = \frac{8 \cdot 7}{2} \cdot 10 \cdot 11 = 28 \cdot 110 = 3080$.

2. Две точки выбраны с прямой $b$ (из 10), по одной — с прямых $a$ (из 8) и $c$ (из 11). Число способов: $C_{10}^2 \cdot C_8^1 \cdot C_{11}^1 = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot 8 \cdot 11 = 45 \cdot 8 \cdot 11 = 3960$.

3. Две точки выбраны с прямой $c$ (из 11), по одной — с прямых $a$ (из 8) и $b$ (из 10). Число способов: $C_{11}^2 \cdot C_8^1 \cdot C_{10}^1 = \frac{11 \cdot 10}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 55 \cdot 8 \cdot 10 = 4400$.

Чтобы найти общее количество тетраэдров, нужно сложить количество способов для каждого из этих трех взаимоисключающих случаев: $3080 + 3960 + 4400 = 11440$.

Ответ: 11440.