Номер 131, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 33 шесть чисел так, чтобы среди выбранных было не менее двух нечётных чисел?

Для решения задачи сначала определим, сколько чётных и нечётных чисел находится в диапазоне натуральных чисел от 1 до 33.

• Нечётные числа: 1, 3, 5, ..., 33. Их количество можно найти по формуле для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$, где $a_n = 33$, $a_1 = 1$, $d=2$. Отсюда $33 = 1 + 2(n-1)$, $32 = 2(n-1)$, $16 = n-1$, $n = 17$. Итак, всего 17 нечётных чисел.
• Чётные числа: 2, 4, 6, ..., 32. Их количество равно $33 - 17 = 16$.

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов выбрать 6 чисел из 33 так, чтобы среди них было не менее двух нечётных. Эту задачу удобнее решать методом от противного (через дополнение). Мы найдём общее количество способов выбрать 6 чисел из 33, а затем вычтем из него количество "неблагоприятных" способов, то есть тех, где выбрано менее двух нечётных чисел (0 или 1 нечётное число).

1. Общее количество способов выбрать 6 чисел из 33.

Поскольку порядок выбора чисел не важен, используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов равно $C_{33}^6$:

$C_{33}^6 = \frac{33!}{6!(33-6)!} = \frac{33 \times 32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1\ 107\ 568$

2. Количество "неблагоприятных" способов.

Неблагоприятными являются два случая:

а) Выбрано 0 нечётных и 6 чётных чисел.

Это означает, что все 6 чисел выбираются из 16 имеющихся чётных чисел. Количество таких способов:

$C_{16}^6 = \frac{16!}{6!(16-6)!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008$

б) Выбрано 1 нечётное и 5 чётных чисел.

Нужно выбрать 1 число из 17 нечётных ($C_{17}^1$) и 5 чисел из 16 чётных ($C_{16}^5$). По правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов для этого случая равно:

$C_{17}^1 \times C_{16}^5 = 17 \times \frac{16!}{5!(16-5)!} = 17 \times \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 17 \times 4368 = 74\ 256$

Суммарное количество неблагоприятных способов равно сумме способов в случаях а) и б):

$8008 + 74\ 256 = 82\ 264$

3. Искомое количество способов.

Чтобы найти количество способов, удовлетворяющих исходному условию (не менее двух нечётных), вычтем количество неблагоприятных способов из общего числа способов:

$1\ 107\ 568 - 82\ 264 = 1\ 025\ 304$

Ответ: $1\ 025\ 304$