Номер 130, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Из 15 человек формируют три группы по 5 человек для поездки в Лондон, Париж и Мадрид. Сколько существует способов это сделать?

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику. Поскольку группы отправляются в разные города (Лондон, Париж, Мадрид), они являются различимыми. Это означает, что порядок выбора групп важен. Решим задачу поэтапно.

Шаг 1: Формирование группы для поездки в Лондон

Сначала нужно выбрать 5 человек из 15 для поездки в Лондон. Порядок выбора людей внутри группы не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Количество способов выбрать первую группу:

$C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003$ способа.

Шаг 2: Формирование группы для поездки в Париж

После того как первая группа сформирована, осталось $15 - 5 = 10$ человек. Из них нужно выбрать 5 человек для поездки в Париж.

Количество способов выбрать вторую группу:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252$ способа.

Шаг 3: Формирование группы для поездки в Мадрид

Осталось $10 - 5 = 5$ человек. Все они отправятся в Мадрид. Таким образом, есть только один способ сформировать третью группу.

Количество способов выбрать третью группу:

$C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = 1$ способ.

Шаг 4: Общее количество способов

Чтобы найти общее количество способов сформировать все три группы, нужно перемножить количество способов для каждого шага, согласно правилу произведения в комбинаторике.

Общее число способов = (способы для Лондона) × (способы для Парижа) × (способы для Мадрида).

$N = C_{15}^5 \cdot C_{10}^5 \cdot C_5^5 = 3003 \cdot 252 \cdot 1 = 756756$.

Это также можно рассчитать с помощью мультиномиального коэффициента, так как мы разбиваем множество из 15 элементов на 3 упорядоченные группы по 5 элементов в каждой:

$\binom{15}{5,5,5} = \frac{15!}{5!5!5!} = \frac{1307674368000}{120 \cdot 120 \cdot 120} = \frac{1307674368000}{1728000} = 756756$.

Ответ: Существует 756756 способов сформировать три группы.