Номер 128, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. На прямой отметили 23 точки, а на параллельной ей прямой — 11 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы три точки образовывали треугольник, они не должны лежать на одной прямой. В условии задачи даны две параллельные прямые. На первой прямой отмечено 23 точки, на второй — 11 точек. Все точки, лежащие на одной прямой, являются коллинеарными, поэтому выбрать три вершины треугольника с одной прямой невозможно.

Следовательно, существует два возможных случая для образования треугольника:

1. Две вершины выбираются на первой прямой (из 23 точек), а одна вершина — на второй прямой (из 11 точек).

2. Одна вершина выбирается на первой прямой (из 23 точек), а две вершины — на второй прямой (из 11 точек).

Рассчитаем количество способов для каждого случая, используя формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Случай 1: Выбираем 2 точки из 23 и 1 точку из 11.
Число способов выбрать 2 точки из 23: $C_{23}^2 = \frac{23!}{2!(23-2)!} = \frac{23 \times 22}{2 \times 1} = 23 \times 11 = 253$.
Число способов выбрать 1 точку из 11: $C_{11}^1 = \frac{11!}{1!(11-1)!} = 11$.
Общее число треугольников в этом случае равно произведению этих сочетаний: $N_1 = C_{23}^2 \times C_{11}^1 = 253 \times 11 = 2783$.

Случай 2: Выбираем 1 точку из 23 и 2 точки из 11.
Число способов выбрать 1 точку из 23: $C_{23}^1 = \frac{23!}{1!(23-1)!} = 23$.
Число способов выбрать 2 точки из 11: $C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$.
Общее число треугольников в этом случае: $N_2 = C_{23}^1 \times C_{11}^2 = 23 \times 55 = 1265$.

Общее количество возможных треугольников равно сумме треугольников из первого и второго случаев:
$N = N_1 + N_2 = 2783 + 1265 = 4048$.

Ответ: 4048