Номер 118, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых все цифры различны, причём три первые цифры нечётные, а две последние — чётные?

Для решения этой задачи необходимо использовать принципы комбинаторики, в частности, правило произведения. Нам нужно найти количество пятизначных чисел, удовлетворяющих трём условиям:
1. Все цифры в числе различны.
2. Первые три цифры — нечётные.
3. Последние две цифры — чётные.

Сначала определим наборы цифр, которые мы можем использовать:
- Множество нечётных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}. Всего 5 цифр.
- Множество чётных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}. Всего 5 цифр.

Процесс формирования пятизначного числа можно разбить на два независимых этапа: выбор первых трёх (нечётных) цифр и выбор последних двух (чётных) цифр.

Шаг 1: Выбор первых трёх нечётных цифр.
Нам нужно выбрать 3 различные цифры из 5 доступных нечётных и расставить их по первым трём позициям. Количество способов это сделать равно числу размещений из 5 элементов по 3.

• Для первой цифры есть 5 вариантов (любая из {1, 3, 5, 7, 9}).
• Для второй цифры остаётся 4 варианта (так как цифры не должны повторяться).
• Для третьей цифры остаётся 3 варианта.

Число способов для первых трёх цифр: $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Шаг 2: Выбор последних двух чётных цифр.
Аналогично, нам нужно выбрать 2 различные цифры из 5 доступных чётных и расставить их по последним двум позициям. Количество способов равно числу размещений из 5 элементов по 2.

• Для четвёртой цифры есть 5 вариантов (любая из {0, 2, 4, 6, 8}).
• Для пятой цифры остаётся 4 варианта.

Число способов для последних двух цифр: $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$.

Шаг 3: Общее количество чисел.
По правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможных чисел равно произведению количества способов на каждом шаге. Поскольку множества нечётных и чётных цифр не пересекаются, условие различия всех пяти цифр в числе выполняется автоматически. Также первая цифра числа не может быть нулём, так как она выбирается из нечётных.
Общее количество пятизначных чисел: $N = A_5^3 \times A_5^2 = 60 \times 20 = 1200$.

Ответ: 1200