Страница 91 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых все цифры различны, причём четыре первые цифры нечётные, а две последние — чётные?

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать и расставить цифры в шестизначном числе согласно заданным условиям. Мы можем разбить задачу на два независимых этапа: расстановка нечётных цифр и расстановка чётных цифр.

1. Расстановка первых четырёх нечётных цифр.

Существует 5 нечётных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}.

Нам нужно выбрать 4 из этих 5 цифр и разместить их на первых четырёх позициях. Так как все цифры в числе должны быть различны, и порядок их важен, мы используем формулу для числа размещений без повторений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Количество способов выбрать и расставить 4 нечётные цифры из 5 имеющихся:

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.

Поскольку первая цифра числа нечётная, она заведомо не равна нулю, что соответствует условию для шестизначных чисел.

2. Расстановка последних двух чётных цифр.

Существует 5 чётных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}.

Нам нужно выбрать 2 из этих 5 цифр и разместить их на двух последних позициях (пятой и шестой). Количество способов для этого также определяется числом размещений:

$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.

3. Общее количество чисел.

Множества нечётных и чётных цифр не пересекаются, поэтому любая комбинация из 4 различных нечётных и 2 различных чётных цифр будет состоять из 6 различных цифр.

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество таких шестизначных чисел равно произведению количества способов для каждого этапа:

Общее количество = (число способов для первых четырёх цифр) $\times$ (число способов для последних двух цифр).

Общее количество = $A_5^4 \times A_5^2 = 120 \times 20 = 2400$.

Ответ: 2400

119. В филармонии есть 7 пианистов и 4 скрипача. Сколько существует способов составить концертную программу из пяти номеров, если начинать и завершать концерт должны скрипачи, а в каждом номере выступает только один музыкант?

Для решения этой задачи необходимо использовать принципы комбинаторики, в частности, размещения без повторений и правило произведения.

Концертная программа состоит из пяти номеров. Обозначим их как 5 последовательных позиций, которые нужно заполнить исполнителями.

1. Выбор исполнителя для первой позиции.

По условию, концерт должен начинать скрипач. В филармонии 4 скрипача, следовательно, на первую позицию есть 4 варианта выбора.

2. Выбор исполнителя для пятой позиции.

Концерт должен завершать также скрипач. Поскольку один скрипач уже выбран на первую позицию (и один и тот же музыкант не может выступать дважды), для пятой позиции остаются $4 - 1 = 3$ скрипача. Таким образом, есть 3 варианта выбора.

Количество способов выбрать и расставить двух разных скрипачей на первую и последнюю позиции — это число размещений из 4 по 2:

$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 4 \times 3 = 12$ способов.

3. Выбор исполнителей для второй, третьей и четвертой позиций.

Всего в филармонии $7$ пианистов и $4$ скрипача, то есть $7 + 4 = 11$ музыкантов. Два места в программе уже заняты двумя скрипачами. Следовательно, для заполнения оставшихся трех позиций в середине концерта у нас есть $11 - 2 = 9$ музыкантов (это 7 пианистов и 2 оставшихся скрипача).

На вторую позицию можно выбрать любого из 9 оставшихся музыкантов.

После выбора исполнителя для второй позиции, на третью позицию останется $9 - 1 = 8$ музыкантов.

Соответственно, на четвертую позицию останется $8 - 1 = 7$ музыкантов.

Количество способов выбрать и расставить трех музыкантов на средние позиции — это число размещений из 9 по 3:

$A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$ способа.

4. Общее количество способов.

Чтобы найти общее количество способов составить всю программу, нужно перемножить количество вариантов для всех этапов (согласно правилу произведения в комбинаторике):

Общее число способов = (способы для первой и пятой позиций) $\times$ (способы для средних трех позиций).

$N = A_4^2 \times A_9^3 = 12 \times 504 = 6048$.

Таким образом, существует 6048 различных способов составить концертную программу.

Ответ: 6048

120. Вычислите:

1) $C_8^5;$

2) $C_{21}^1;$

3) $C_7^3 + C_7^0.$

1) $C_8^5$

Для вычисления числа сочетаний из n по k используется формула: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $n=8$ и $k=5$.

Чтобы упростить вычисления, воспользуемся свойством сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_8^5 = C_8^{8-5} = C_8^3$

Теперь применим основную формулу:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{ (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 8 \cdot 7 = 56$

Ответ: 56

2) $C_{21}^1$

Используем формулу $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ с $n=21$ и $k=1$.

$C_{21}^1 = \frac{21!}{1!(21-1)!} = \frac{21!}{1!20!} = \frac{21 \cdot 20!}{1 \cdot 20!} = 21$

Также можно использовать общее свойство, что число сочетаний из n по 1 всегда равно n, то есть $C_n^1 = n$. Это означает, что существует ровно n способов выбрать один элемент из n элементов.

Ответ: 21

3) $C_7^3 + C_7^0$

Для решения этого примера необходимо вычислить каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить результаты.

Вычислим первое слагаемое $C_7^3$, где $n=7$ и $k=3$:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 7 \cdot 5 = 35$

Вычислим второе слагаемое $C_7^0$, где $n=7$ и $k=0$:

$C_7^0 = \frac{7!}{0!(7-0)!} = \frac{7!}{0!7!}$

По определению, факториал нуля $0! = 1$. Поэтому:

$C_7^0 = \frac{7!}{1 \cdot 7!} = 1$

Это также следует из общего свойства $C_n^0 = 1$, которое означает, что существует только один способ ничего не выбрать из множества элементов.

Теперь сложим полученные значения:

$C_7^3 + C_7^0 = 35 + 1 = 36$

Ответ: 36

121. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $C_x^2 = 105;$

2) $C_{x+2}^3 = 22(x+2);$

3) $4C_{x+1}^2 - 3A_x^2 = x.$

1) Решим уравнение $C_x^2=105$ в натуральных числах.
Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ имеет вид $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для данного уравнения $n=x$, $k=2$.
$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$.
Для того чтобы сочетание было определено, необходимо выполнение условия $x \ge 2$, и по условию задачи $x$ должен быть натуральным числом.
Подставим выражение для $C_x^2$ в уравнение:
$\frac{x(x-1)}{2} = 105$
$x(x-1) = 210$
$x^2 - x - 210 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$.
$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 29}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 29}{2} = \frac{-28}{2} = -14$.
Корень $x_1 = 15$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Корень $x_2 = -14$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.
Ответ: 15.

2) Решим уравнение $C_{x+2}^3 = 22(x+2)$ в натуральных числах.
Используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n=x+2$, $k=3$.
$C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{3!((x+2)-3)!} = \frac{(x+2)!}{6(x-1)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{6(x-1)!} = \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$.
Выражение имеет смысл при $x+2 \ge 3$, то есть $x \ge 1$. Поскольку $x$ - натуральное число, это условие выполняется.
Подставим выражение в уравнение:
$\frac{x(x+1)(x+2)}{6} = 22(x+2)$.
Так как $x$ - натуральное число, $x+2 \neq 0$, поэтому можно разделить обе части уравнения на $(x+2)$:
$\frac{x(x+1)}{6} = 22$
$x(x+1) = 132$
$x^2 + x - 132 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$.
$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 23}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 23}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.
Корень $x_1 = 11$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Корень $x_2 = -12$ не является натуральным числом.
Ответ: 11.

3) Решим уравнение $4C_{x+1}^2 - 3A_x^2 = x$ в натуральных числах.
Используем формулы для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
$C_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{2!((x+1)-2)!} = \frac{(x+1)!}{2(x-1)!} = \frac{(x+1)x}{2}$. Это выражение определено для $x+1 \ge 2$, то есть $x \ge 1$.
$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$. Это выражение определено для $x \ge 2$.
Область допустимых значений для $x$ определяется как $x \ge 2$ и $x$ - натуральное число.
Подставим выражения в уравнение:
$4 \cdot \frac{x(x+1)}{2} - 3x(x-1) = x$
$2x(x+1) - 3x(x-1) = x$
$2x^2 + 2x - 3x^2 + 3x = x$
$-x^2 + 5x = x$
$-x^2 + 4x = 0$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x-4) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Корень $x_2 = 4$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Ответ: 4.

122. На окружности отметили 17 точек. Сколько существует пятиугольников с вершинами в отмеченных точках?

Для нахождения количества пятиугольников, которые можно составить из 17 точек на окружности, необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 5 вершин из 17 имеющихся точек. Поскольку порядок выбора вершин не имеет значения (пятиугольник с вершинами A, B, C, D, E — это тот же самый пятиугольник, что и с вершинами B, A, C, D, E), эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из 17 элементов по 5.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число точек $n = 17$, а число вершин в пятиугольнике $k = 5$. Подставим эти значения в формулу:
$C_{17}^5 = \frac{17!}{5!(17-5)!} = \frac{17!}{5!12!}$

Теперь распишем факториалы и выполним вычисления:
$C_{17}^5 = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 12!}$

Сократим $12!$ в числителе и знаменателе:
$C_{17}^5 = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Проведем дальнейшие сокращения: $15 = 5 \cdot 3$ и $16 = 4 \cdot 2 \cdot 2$.
$C_{17}^5 = \frac{17 \cdot (4 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 3) \cdot 14 \cdot 13}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 17 \cdot 2 \cdot 14 \cdot 13$

$C_{17}^5 = 34 \cdot 182 = 6188$

Таким образом, из 17 точек на окружности можно составить 6188 различных пятиугольников.
Ответ: 6188

123. В состав воинского подразделения входит 14 солдат. Сколько существует способов выбрать из них 4 человека для несения боевого дежурства?

Для решения этой задачи необходимо определить, является ли выборка упорядоченной. Поскольку все 4 выбранных солдата будут нести одно и то же боевое дежурство, порядок их выбора не имеет значения. Это означает, что мы имеем дело с сочетаниями.

Нам нужно найти число сочетаний из 14 элементов (общее количество солдат) по 4 элемента (количество солдат для дежурства).

Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=14$ и $k=4$. Подставим эти значения в формулу:

$C_{14}^4 = \frac{14!}{4!(14-4)!} = \frac{14!}{4!10!}$

Распишем факториалы и произведем вычисления:

$C_{14}^4 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 10!}$

Сократим $10!$ в числителе и знаменателе:

$C_{14}^4 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Теперь упростим выражение. Знаменатель равен $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

$C_{14}^4 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{24}$

Можно сократить множители: $12$ в числителе и $4 \times 3$ в знаменателе сокращаются. Также можно сократить $14$ и $2$.

$C_{14}^4 = \frac{(14/2) \times 13 \times (12/(4 \times 3)) \times 11}{1} = 7 \times 13 \times 1 \times 11$

$C_{14}^4 = 91 \times 11 = 1001$

Таким образом, существует 1001 способ выбрать 4 солдат для несения боевого дежурства.

Ответ: 1001

124. На окружности отметили 26 точек. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: пятнадцатиугольников или одиннадцатиугольников?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сравнить количество способов, которыми можно выбрать вершины для пятнадцатиугольников и одиннадцатиугольников из 26 отмеченных точек. Поскольку порядок выбора вершин не влияет на форму многоугольника, мы используем формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

1. Количество пятнадцатиугольников
Для построения пятнадцатиугольника нужно выбрать 15 вершин из 26 доступных точек. Здесь $n=26$ и $k=15$.
Число возможных пятнадцатиугольников равно:$C_{26}^{15} = \frac{26!}{15!(26-15)!} = \frac{26!}{15!11!}$

2. Количество одиннадцатиугольников
Для построения одиннадцатиугольника нужно выбрать 11 вершин из 26 доступных точек. Здесь $n=26$ и $k=11$.
Число возможных одиннадцатиугольников равно:$C_{26}^{11} = \frac{26!}{11!(26-11)!} = \frac{26!}{11!15!}$

Сравнение и вывод
Сравнивая полученные выражения для числа пятнадцатиугольников и одиннадцатиугольников, мы видим, что они равны:$\frac{26!}{15!11!} = \frac{26!}{11!15!}$Следовательно, $C_{26}^{15} = C_{26}^{11}$.

Это равенство объясняется свойством симметрии биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$. В данном случае, $C_{26}^{15} = C_{26}^{26-15} = C_{26}^{11}$.
Интуитивно это означает, что выбор 15 точек для построения многоугольника эквивалентен выбору 11 точек, которые не будут его вершинами. Поскольку каждому набору из 15 точек соответствует уникальный набор из 11 оставшихся точек, количество способов сделать такой выбор в обоих случаях одинаково.

Ответ: Количество пятнадцатиугольников и одиннадцатиугольников с вершинами в отмеченных точках одинаково.

125. На окружности отметили 39 жёлтых точек и 40 синих точек. В каком из множеств больше элементов: в множестве тринадцатиугольников и четырнадцатиугольников с вершинами в жёлтых точках или в множестве четырнадцатиугольников с вершинами в синих точках?

Найдем количество элементов в первом множестве (тринадцатиугольники и четырнадцатиугольники с вершинами в жёлтых точках)

В наличии имеется 39 жёлтых точек. Чтобы составить тринадцатиугольник, нужно выбрать 13 вершин из 39 доступных. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 39 по 13, что записывается как $C_{39}^{13}$.
Чтобы составить четырнадцатиугольник, нужно выбрать 14 вершин из 39 доступных. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 39 по 14, что записывается как $C_{39}^{14}$.
Поскольку первое множество включает в себя и те, и другие многоугольники, общее количество элементов в нём равно сумме этих двух величин: $C_{39}^{13} + C_{39}^{14}$.

Найдем количество элементов во втором множестве (четырнадцатиугольники с вершинами в синих точках)

В наличии имеется 40 синих точек. Чтобы составить четырнадцатиугольник, нужно выбрать 14 вершин из 40 доступных. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 40 по 14, что записывается как $C_{40}^{14}$.

Сравним количество элементов в множествах

Нам нужно сравнить величину $C_{39}^{13} + C_{39}^{14}$ с величиной $C_{40}^{14}$.
Воспользуемся основным свойством биномиальных коэффициентов (правилом сложения или тождеством Паскаля), которое гласит:
$C_{n}^{k} + C_{n}^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$
Применим это тождество к нашему случаю, подставив $n=39$ и $k=13$:
$C_{39}^{13} + C_{39}^{13+1} = C_{39+1}^{13+1}$
$C_{39}^{13} + C_{39}^{14} = C_{40}^{14}$
Таким образом, количество элементов в первом множестве в точности равно количеству элементов во втором множестве.
Ответ: Количество элементов в этих множествах одинаково.

126. В состав хоккейной команды входят 12 нападающих и 8 защитников. Сколько существует способов сформировать пятёрку игроков, начинающую матч, если в неё должны входить 3 нападающих и 2 защитника?

Для решения этой задачи необходимо использовать принципы комбинаторики. Нам нужно совершить два независимых выбора: выбрать нападающих и выбрать защитников. Общее количество способов будет равно произведению количества способов для каждого выбора.

1. Выбор нападающих.

Нужно выбрать 3 нападающих из 12 доступных. Так как порядок выбора игроков не важен, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $n=12$ (всего нападающих), а $k=3$ (нападающих в пятерке). Рассчитаем количество способов:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$ способов.

2. Выбор защитников.

Аналогично, нужно выбрать 2 защитников из 8 доступных. Здесь $n=8$ (всего защитников), а $k=2$ (защитников в пятерке).

Рассчитаем количество способов:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 4 \times 7 = 28$ способов.

3. Общее количество способов.

Чтобы найти общее количество способов сформировать пятерку, нужно перемножить количество способов выбора нападающих и количество способов выбора защитников (согласно правилу произведения в комбинаторике).

Общее число способов $N = C_{12}^3 \times C_8^2 = 220 \times 28 = 6160$.

Ответ: 6160.