Номер 125, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. На окружности отметили 39 жёлтых точек и 40 синих точек. В каком из множеств больше элементов: в множестве тринадцатиугольников и четырнадцатиугольников с вершинами в жёлтых точках или в множестве четырнадцатиугольников с вершинами в синих точках?

Найдем количество элементов в первом множестве (тринадцатиугольники и четырнадцатиугольники с вершинами в жёлтых точках)

В наличии имеется 39 жёлтых точек. Чтобы составить тринадцатиугольник, нужно выбрать 13 вершин из 39 доступных. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 39 по 13, что записывается как $C_{39}^{13}$.
Чтобы составить четырнадцатиугольник, нужно выбрать 14 вершин из 39 доступных. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 39 по 14, что записывается как $C_{39}^{14}$.
Поскольку первое множество включает в себя и те, и другие многоугольники, общее количество элементов в нём равно сумме этих двух величин: $C_{39}^{13} + C_{39}^{14}$.

Найдем количество элементов во втором множестве (четырнадцатиугольники с вершинами в синих точках)

В наличии имеется 40 синих точек. Чтобы составить четырнадцатиугольник, нужно выбрать 14 вершин из 40 доступных. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 40 по 14, что записывается как $C_{40}^{14}$.

Сравним количество элементов в множествах

Нам нужно сравнить величину $C_{39}^{13} + C_{39}^{14}$ с величиной $C_{40}^{14}$.
Воспользуемся основным свойством биномиальных коэффициентов (правилом сложения или тождеством Паскаля), которое гласит:
$C_{n}^{k} + C_{n}^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$
Применим это тождество к нашему случаю, подставив $n=39$ и $k=13$:
$C_{39}^{13} + C_{39}^{13+1} = C_{39+1}^{13+1}$
$C_{39}^{13} + C_{39}^{14} = C_{40}^{14}$
Таким образом, количество элементов в первом множестве в точности равно количеству элементов во втором множестве.
Ответ: Количество элементов в этих множествах одинаково.