Номер 127, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. На прямой отметили 16 точек, а на параллельной ей прямой — 10 точек. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы составить четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, необходимо выбрать 4 точки. Важное условие для существования невырожденного четырёхугольника — никакие три его вершины не должны лежать на одной прямой.

В данной задаче все точки расположены на двух параллельных прямых. Пусть на первой прямой ($L_1$) находится 16 точек, а на второй ($L_2$) — 10 точек.

Рассмотрим, как можно выбрать 4 точки:

• Если выбрать 3 точки на одной прямой (например, на $L_1$) и 1 точку на другой (на $L_2$), то получится треугольник.
• Если выбрать все 4 точки на одной прямой, то они образуют лишь отрезок.

Единственный способ сформировать четырёхугольник — это выбрать 2 вершины на первой прямой и 2 вершины на второй. Любая такая комбинация из четырёх точек (две на одной параллельной прямой и две на другой) будет образовывать трапецию.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа способов выбрать 2 точки из 16 на первой прямой и числа способов выбрать 2 точки из 10 на второй прямой, а затем перемножить эти результаты.

Число способов выбрать 2 точки из 16 на первой прямой находится по формуле сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2! \cdot 14!} = \frac{15 \cdot 16}{2 \cdot 1} = 120$ способов.

Число способов выбрать 2 точки из 10 на второй прямой:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{9 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 45$ способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество четырёхугольников равно произведению числа способов выбора точек на каждой из прямых:

$N = C_{16}^2 \cdot C_{10}^2 = 120 \cdot 45 = 5400$.

Ответ: 5400