Номер 130, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. В воинском подразделении служат 12 человек. Их нужно разделить на три группы по 4 человека в каждой для охраны трёх объектов. Сколько существует способов это сделать?

Данная задача относится к области комбинаторики. Нам необходимо найти общее число способов разделения 12 различных людей на три группы по 4 человека, при этом каждая группа назначается для охраны одного из трёх различных объектов. Поскольку объекты различны, то и группы, которые им назначаются, являются различимыми (упорядоченными).

Решение можно разбить на три последовательных шага:

1. Выбор первой группы для охраны первого объекта. Нужно выбрать 4 человека из 12. Порядок выбора людей внутри группы не имеет значения, поэтому используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Количество способов для первого шага: $C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$ способов.
2. Выбор второй группы для охраны второго объекта. После выбора первой группы осталось $12 - 4 = 8$ человек. Из них нужно выбрать 4 человека для второй группы. Количество способов для второго шага: $C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$ способов.
3. Выбор третьей группы для охраны третьего объекта. Оставшиеся $8 - 4 = 4$ человека формируют третью группу. Количество способов для третьего шага: $C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$ способ.

Для нахождения общего числа способов необходимо перемножить количество способов на каждом шаге, так как эти выборы являются независимыми событиями.

Общее количество способов $N = C_{12}^4 \times C_8^4 \times C_4^4 = 495 \times 70 \times 1 = 34650$.

Этот же результат можно получить, используя формулу для полиномиального коэффициента (числа способов упорядоченного разбиения множества): $N = \frac{12!}{4!4!4!} = \frac{479001600}{24 \cdot 24 \cdot 24} = \frac{479001600}{13824} = 34650$.

Ответ: 34650.