Номер 132, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Прямые $a$, $b$ и $c$ параллельны, но не лежат в одной плоскости. На указанных прямых отметили соответственно 6, 9 и 13 точек. Сколько существует тетраэдров с вершинами в отмеченных точках?

Для построения тетраэдра необходимо выбрать четыре точки, не лежащие в одной плоскости. В задаче даны три параллельные прямые a, b и c, которые сами не лежат в одной плоскости. На прямой a отмечено 6 точек, на прямой b — 9 точек, и на прямой c — 13 точек.

Проанализируем, как можно выбрать 4 точки, чтобы они не были копланарными (не лежали в одной плоскости):

• Если выбрать 3 или 4 точки с одной и той же прямой, они будут лежать на одной прямой (коллинеарны) и не смогут образовать тетраэдр.
• Если выбрать все 4 точки только с двух прямых (например, с прямых a и b), то все они будут лежать в плоскости, определяемой этими двумя параллельными прямыми. Следовательно, они будут копланарны и также не смогут образовать тетраэдр.

Таким образом, для того чтобы 4 точки не были копланарными, их необходимо выбрать со всех трех прямых. Поскольку по условию прямые a, b и c не лежат в одной плоскости, любой набор из четырех точек, в котором представлены все три прямые, будет образовывать тетраэдр.

Единственный способ распределить 4 точки между тремя прямыми — это взять 2 точки с одной прямой и по 1 точке с двух других. Рассмотрим все три возможных случая такого выбора.

Случай 1: 2 точки с прямой a, 1 точка с прямой b и 1 точка с прямой c

Количество способов выбрать 2 точки из 6 на прямой a равно числу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.

Количество способов выбрать 1 точку из 9 на прямой b: $C_9^1 = 9$.

Количество способов выбрать 1 точку из 13 на прямой c: $C_{13}^1 = 13$.

Общее число тетраэдров для этого случая по правилу произведения: $N_1 = C_6^2 \cdot C_9^1 \cdot C_{13}^1 = 15 \cdot 9 \cdot 13 = 1755$.

Случай 2: 1 точка с прямой a, 2 точки с прямой b и 1 точка с прямой c

Количество способов выбрать 1 точку из 6 на прямой a: $C_6^1 = 6$.

Количество способов выбрать 2 точки из 9 на прямой b: $C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$.

Количество способов выбрать 1 точку из 13 на прямой c: $C_{13}^1 = 13$.

Общее число тетраэдров для этого случая: $N_2 = C_6^1 \cdot C_9^2 \cdot C_{13}^1 = 6 \cdot 36 \cdot 13 = 2808$.

Случай 3: 1 точка с прямой a, 1 точка с прямой b и 2 точки с прямой c

Количество способов выбрать 1 точку из 6 на прямой a: $C_6^1 = 6$.

Количество способов выбрать 1 точку из 9 на прямой b: $C_9^1 = 9$.

Количество способов выбрать 2 точки из 13 на прямой c: $C_{13}^2 = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78$.

Общее число тетраэдров для этого случая: $N_3 = C_6^1 \cdot C_9^1 \cdot C_{13}^2 = 6 \cdot 9 \cdot 78 = 4212$.

Общее количество тетраэдров

Так как эти три случая являются взаимоисключающими, общее количество тетраэдров равно сумме тетраэдров, полученных в каждом случае:

$N = N_1 + N_2 + N_3 = 1755 + 2808 + 4212 = 8775$.

Ответ: 8775