Номер 139, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Докажите равенство:

$2^{50} + C_{50}^1 2^{49} + C_{50}^2 2^{48} + \dots + C_{50}^{49} 2^1 + 1 = 4^{25} + C_{25}^1 4^{24} 5^1 + C_{25}^2 4^{23} 5^2 + \dots + C_{25}^{24} 4^1 5^{24} + 5^{25}.$

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

Рассмотрим левую часть равенства:

$2^{50} + C_{50}^1 2^{49} + C_{50}^2 2^{48} + \dots + C_{50}^{49} 2^1 + 1$

Данное выражение можно представить в виде разложения бинома. Учитывая, что $C_{n}^0 = 1$ и $C_{n}^{n} = 1$, а также $1^k = 1$ для любого $k$, перепишем сумму, добавив множители $C_{50}^0$ и $1^k$:

$C_{50}^0 \cdot 2^{50} \cdot 1^0 + C_{50}^1 \cdot 2^{49} \cdot 1^1 + C_{50}^2 \cdot 2^{48} \cdot 1^2 + \dots + C_{50}^{49} \cdot 2^1 \cdot 1^{49} + C_{50}^{50} \cdot 2^0 \cdot 1^{50}$

Это в точности соответствует разложению $(2+1)^{50}$ по формуле бинома Ньютона. Таким образом, левая часть равна:

$(2+1)^{50} = 3^{50}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства:

$4^{25} + C_{25}^1 4^{24}5^1 + C_{25}^2 4^{23}5^2 + \dots + C_{25}^{24} 4^1 5^{24} + 5^{25}$

Аналогично, учитывая, что $C_{25}^0 = 1$ и $C_{25}^{25} = 1$, перепишем эту сумму в полной форме биномиального разложения:

$C_{25}^0 \cdot 4^{25} \cdot 5^0 + C_{25}^1 \cdot 4^{24} \cdot 5^1 + C_{25}^2 \cdot 4^{23} \cdot 5^2 + \dots + C_{25}^{24} \cdot 4^1 \cdot 5^{24} + C_{25}^{25} \cdot 4^0 \cdot 5^{25}$

Эта сумма является разложением бинома $(4+5)^{25}$. Таким образом, правая часть равна:

$(4+5)^{25} = 9^{25}$

Остается доказать, что левая часть равна правой, то есть $3^{50} = 9^{25}$.

Преобразуем правую часть, зная, что $9 = 3^2$:

$9^{25} = (3^2)^{25} = 3^{2 \cdot 25} = 3^{50}$

Таким образом, мы получили, что левая часть равна $3^{50}$ и правая часть равна $3^{50}$, следовательно, равенство верно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем сворачивания обеих частей в биномиальные степени $(2+1)^{50}$ и $(4+5)^{25}$ соответственно и последующего сравнения полученных выражений $3^{50}$ и $9^{25}$.