Номер 146, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Деканат распределяет 49 первокурсников по трём группам. В первую группу попали 16 студентов, во вторую — 15, в третью — 18. Какова вероятность того, что две подруги Лена и Таня будут учиться в одной группе?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов: $P = \frac{M}{N}$.

1. Найдем общее число исходов (N).

Общее число исходов – это количество способов выбрать 2 места для Лены и Тани из 49 доступных мест для всех первокурсников. Это число сочетаний из 49 по 2.

$N = C_{49}^2 = \frac{49!}{2!(49-2)!} = \frac{49 \cdot 48}{2 \cdot 1} = 49 \cdot 24 = 1176$.

Таким образом, существует 1176 способов распределить двух подруг по всем имеющимся местам.

2. Найдем число благоприятных исходов (M).

Благоприятный исход – это событие, при котором Лена и Таня окажутся в одной группе. Это может произойти, если они обе попадут в первую группу, или обе во вторую, или обе в третью. Поскольку эти события несовместны, общее число благоприятных исходов будет равно сумме исходов для каждой группы.

• Число способов выбрать 2 места для подруг из 16 мест в первой группе:

  $M_1 = C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \cdot 15}{2} = 8 \cdot 15 = 120$.

• Число способов выбрать 2 места для подруг из 15 мест во второй группе:

  $M_2 = C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 15 \cdot 7 = 105$.

• Число способов выбрать 2 места для подруг из 18 мест в третьей группе:

  $M_3 = C_{18}^2 = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18 \cdot 17}{2} = 9 \cdot 17 = 153$.

Сложим число благоприятных исходов для каждой группы:

$M = M_1 + M_2 + M_3 = 120 + 105 + 153 = 378$.

3. Вычислим вероятность.

Теперь, когда у нас есть общее число исходов и число благоприятных исходов, мы можем найти вероятность:

$P = \frac{M}{N} = \frac{378}{1176}$.

Сократим полученную дробь. Оба числа, числитель и знаменатель, делятся на 42.

$378 = 42 \cdot 9$

$1176 = 42 \cdot 28$

Следовательно:

$P = \frac{9}{28}$.

Ответ: $\frac{9}{28}$.