Страница 94 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку — 0,3, в восьмёрку — 0,4. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

1) больше 7 очков;

2) не менее 9 очков;

3) меньше 9 очков?

Обозначим события:
$A_{10}$ – стрелок попал в десятку (набрал 10 очков). Вероятность этого события $P(A_{10}) = 0,05$.
$A_9$ – стрелок попал в девятку (набрал 9 очков). Вероятность этого события $P(A_9) = 0,3$.
$A_8$ – стрелок попал в восьмёрку (набрал 8 очков). Вероятность этого события $P(A_8) = 0,4$.
События попадания в десятку, девятку и восьмёрку являются несовместными, так как одним выстрелом нельзя одновременно набрать разное количество очков.

1) больше 7 очков;
Событие "набрать больше 7 очков" означает, что стрелок наберёт 8, 9 или 10 очков. Это соответствует наступлению одного из событий: $A_8$, $A_9$ или $A_{10}$. Поскольку эти события несовместны, вероятность того, что произойдёт одно из них, равна сумме их вероятностей:
$P(\text{больше 7 очков}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10}) = 0,4 + 0,3 + 0,05 = 0,75$.
Ответ: 0,75.

2) не менее 9 очков;
Событие "набрать не менее 9 очков" означает, что стрелок наберёт 9 или 10 очков. Это соответствует наступлению одного из событий: $A_9$ или $A_{10}$. Так как эти события несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:
$P(\text{не менее 9 очков}) = P(A_9) + P(A_{10}) = 0,3 + 0,05 = 0,35$.
Ответ: 0,35.

3) меньше 9 очков?
Событие "набрать меньше 9 очков" является противоположным событию "набрать не менее 9 очков" (то есть набрать 9 или 10 очков), вероятность которого мы нашли в предыдущем пункте. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно:
$P(\text{меньше 9 очков}) = 1 - P(\text{не менее 9 очков}) = 1 - 0,35 = 0,65$.
Проверка другим способом:
Событие "набрать меньше 9 очков" означает, что стрелок наберёт 8 очков или меньше 8 очков.
Вероятность набрать 8 очков равна $P(A_8) = 0,4$.
Вероятность набрать меньше 8 очков (т.е. 7, 6, ..., 0 или промах) — это вероятность события, противоположного тому, что стрелок наберет 8, 9 или 10 очков.
$P(\text{меньше 8 очков}) = 1 - (P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10})) = 1 - (0,4 + 0,3 + 0,05) = 1 - 0,75 = 0,25$.
События "набрать 8 очков" и "набрать меньше 8 очков" несовместны, поэтому вероятность набрать меньше 9 очков равна сумме их вероятностей:
$P(\text{меньше 9 очков}) = P(A_8) + P(\text{меньше 8 очков}) = 0,4 + 0,25 = 0,65$.
Результаты совпадают.
Ответ: 0,65.

146. Деканат распределяет 49 первокурсников по трём группам. В первую группу попали 16 студентов, во вторую — 15, в третью — 18. Какова вероятность того, что две подруги Лена и Таня будут учиться в одной группе?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов: $P = \frac{M}{N}$.

1. Найдем общее число исходов (N).

Общее число исходов – это количество способов выбрать 2 места для Лены и Тани из 49 доступных мест для всех первокурсников. Это число сочетаний из 49 по 2.

$N = C_{49}^2 = \frac{49!}{2!(49-2)!} = \frac{49 \cdot 48}{2 \cdot 1} = 49 \cdot 24 = 1176$.

Таким образом, существует 1176 способов распределить двух подруг по всем имеющимся местам.

2. Найдем число благоприятных исходов (M).

Благоприятный исход – это событие, при котором Лена и Таня окажутся в одной группе. Это может произойти, если они обе попадут в первую группу, или обе во вторую, или обе в третью. Поскольку эти события несовместны, общее число благоприятных исходов будет равно сумме исходов для каждой группы.

• Число способов выбрать 2 места для подруг из 16 мест в первой группе:

  $M_1 = C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \cdot 15}{2} = 8 \cdot 15 = 120$.

• Число способов выбрать 2 места для подруг из 15 мест во второй группе:

  $M_2 = C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 15 \cdot 7 = 105$.

• Число способов выбрать 2 места для подруг из 18 мест в третьей группе:

  $M_3 = C_{18}^2 = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18 \cdot 17}{2} = 9 \cdot 17 = 153$.

Сложим число благоприятных исходов для каждой группы:

$M = M_1 + M_2 + M_3 = 120 + 105 + 153 = 378$.

3. Вычислим вероятность.

Теперь, когда у нас есть общее число исходов и число благоприятных исходов, мы можем найти вероятность:

$P = \frac{M}{N} = \frac{378}{1176}$.

Сократим полученную дробь. Оба числа, числитель и знаменатель, делятся на 42.

$378 = 42 \cdot 9$

$1176 = 42 \cdot 28$

Следовательно:

$P = \frac{9}{28}$.

Ответ: $\frac{9}{28}$.

147. Ученик наугад называет натуральное число от 1 до 30 включительно. Событие $A$ состоит в том, что названное число больше 20. Событие $B$ состоит в том, что названное число кратно четырём. Найдите вероятность события $A \cap B$.

По условию задачи, ученик наугад называет натуральное число от 1 до 30 включительно. Общее число всех возможных равновероятных исходов равно 30. Обозначим это как $N=30$.

Событие A состоит в том, что названное число больше 20. Это означает, что число может быть любым из {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}.

Событие B состоит в том, что названное число кратно четырём. Это означает, что число может быть любым из {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}.

Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) означает, что названное число удовлетворяет обоим условиям одновременно: оно должно быть больше 20 и кратно четырём.

Найдем числа из диапазона от 1 до 30, которые удовлетворяют обоим условиям. Для этого выберем из множества чисел, кратных четырём, те, которые больше 20. Это числа 24 и 28.

Таким образом, количество благоприятных исходов для события $A \cap B$ равно 2. Обозначим это как $m=2$.

Вероятность события $A \cap B$ находится по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A \cap B) = \frac{m}{N} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

Ответ: $\frac{1}{15}$

148. В каждой из двух колод лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках нечётная; событие $B$ — в том, что по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 2. Найдите вероятность события:

1) $\overline{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

Обозначим результат выбора карточек как упорядоченную пару чисел $(x, y)$, где $x$ — номер карточки из первой колоды, а $y$ — номер карточки из второй колоды. Поскольку в каждой колоде по три карточки с номерами 1, 2 и 3, общее число всех возможных равновероятных исходов равно $N = 3 \times 3 = 9$.

Пространство элементарных событий $\Omega$ состоит из следующих пар:

$\Omega = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}$.

Рассмотрим события A и B:

Событие A: сумма очков на выбранных карточках нечётная. Сумма двух целых чисел нечётна тогда и только тогда, когда одно из них чётное, а другое нечётное. В нашем наборе чисел {1, 2, 3} чётное число — это 2, а нечётные — 1 и 3.

Исходы, благоприятствующие событию A (одно число чётное, другое нечётное):

$A = \{(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)\}$

Число благоприятствующих исходов для A равно $m_A = 4$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{4}{9}$.

Событие B: по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 2.

Исходы, благоприятствующие событию B:

$B = \{(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2)\}$

Число благоприятствующих исходов для B равно $m_B = 5$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{5}{9}$.

1) $\overline{A}$

Событие $\overline{A}$ (противоположное событию A) состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках является чётной. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

Так как $P(A) = \frac{4}{9}$, то:

$P(\overline{A}) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.

Можно также найти это напрямую, перечислив исходы, где сумма чётная (оба числа чётные или оба нечётные):

$\overline{A} = \{(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3), (2, 2)\}$

Число таких исходов $m_{\overline{A}} = 5$, откуда $P(\overline{A}) = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$

2) $A \cap B$

Событие $A \cap B$ (пересечение A и B) означает, что оба события происходят одновременно: сумма очков нечётная, и по крайней мере одна из карточек — двойка.

Чтобы сумма была нечётной, одна из карточек должна быть чётной (т.е. 2), а другая — нечётной (1 или 3). Это означает, что если наступило событие A, то одна из карточек обязательно равна 2, а значит, автоматически наступает и событие B. Таким образом, событие A является подмножеством события B ($A \subset B$), и их пересечение совпадает с событием A.

Выпишем исходы, принадлежащие обоим множествам:

$A \cap B = \{(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)\}$

Число исходов, благоприятствующих событию $A \cap B$, равно $m_{A \cap B} = 4$.

Вероятность этого события:

$P(A \cap B) = \frac{m_{A \cap B}}{N} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$

3) $A \cup B$

Событие $A \cup B$ (объединение A и B) означает, что происходит хотя бы одно из событий: либо сумма нечётная, либо есть хотя бы одна двойка.

Вероятность объединения событий находится по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Подставим уже вычисленные значения:

$P(A \cup B) = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.

Так как мы установили, что событие A является подмножеством события B ($A \subset B$), то их объединение совпадает с более широким событием B. Следовательно, $A \cup B = B$, и $P(A \cup B) = P(B) = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$

149. В школе работают две спортивные секции — настольного тенниса и баскетбольная. Вероятность встретить среди учащихся школы теннисиста равна 16%, баскетболиста — 10%, а ученика, посещающего обе секции, — 5%. Какова вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы посещает хотя бы одну из указанных секций?

Для решения этой задачи введем обозначения для событий:

Событие A: случайно выбранный учащийся посещает секцию настольного тенниса.

Событие B: случайно выбранный учащийся посещает баскетбольную секцию.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности, выраженные в виде десятичных дробей:

Вероятность события A: $P(A) = 16\% = 0.16$.

Вероятность события B: $P(B) = 10\% = 0.10$.

Вероятность того, что учащийся посещает обе секции одновременно (пересечение событий A и B): $P(A \cap B) = 5\% = 0.05$.

Нам необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный учащийся посещает хотя бы одну из указанных секций. Это событие является объединением событий A и B (A или B), и его вероятность обозначается как $P(A \cup B)$.

Поскольку ученик может посещать обе секции, события A и B являются совместными. Для нахождения вероятности объединения двух совместных событий используется формула сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Подставим в эту формулу числовые значения из условия:

$P(A \cup B) = 0.16 + 0.10 - 0.05$

Выполним вычисления:

$P(A \cup B) = 0.26 - 0.05 = 0.21$

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный учащийся посещает хотя бы одну из спортивных секций, равна 0.21. В процентах это составляет $0.21 \cdot 100\% = 21\%$.

Ответ: 21%.