Страница 89 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $x = 2$ и $y = 0$;

2) синусоидой $y = \sin x$ и прямыми $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$ и $y = 0$;

3) графиком функции $y = x^3 + 1$ и прямыми $x = 0$, $x = 1$ и $y = 0$.

1) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $x = 2$ и $y = 0$;

Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данном случае, фигура ограничена графиком функции $y=\sqrt{x}$, прямой $x=2$ и осью $y=0$ (ось абсцисс). Пределы интегрирования определяются из условий: график $y=\sqrt{x}$ пересекает ось $y=0$ в точке $x=0$, а вторая граница задана прямой $x=2$. Таким образом, интегрирование производится в пределах от $a=0$ до $b=2$.

Функция $f(x) = \sqrt{x}$. Подставим данные в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{2} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{2} x dx$

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{0}^{2} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2$

Таким образом, объем тела вращения равен:

$V = \pi \cdot 2 = 2\pi$

Ответ: $2\pi$.

2) синусоидой $y = \sin x$ и прямыми $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$ и $y = 0$;

Используем ту же формулу для объема тела вращения. Здесь $f(x) = \sin x$, а пределы интегрирования заданы: $a = \frac{\pi}{6}$ и $b = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$V = \pi \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (\sin x)^2 dx = \pi \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \sin^2 x dx$

Для вычисления интеграла используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$V = \pi \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (1 - \cos(2x)) dx$

Найдем первообразную для подынтегрального выражения:

$\int (1 - \cos(2x)) dx = x - \frac{1}{2}\sin(2x)$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{\pi/6}^{5\pi/6} = \left( \frac{5\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{5\pi}{6}\right) \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) \right)$

$= \left( \frac{5\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)$

Так как $\sin(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$= \left( \frac{5\pi}{6} - \frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) = \left( \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$

$= \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{4\pi}{6} + \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Объем тела равен:

$V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi^2}{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\frac{\pi^2}{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{4}$.

3) графиком функции $y = x^3 + 1$ и прямыми $x = 0$, $x = 1$ и $y = 0$.

Снова используем формулу для объема тела вращения. В этом случае $f(x) = x^3 + 1$, а пределы интегрирования $a=0$ и $b=1$.

Подставляем данные в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^3 + 1)^2 dx$

Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$(x^3 + 1)^2 = (x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot 1 + 1^2 = x^6 + 2x^3 + 1$

Интеграл принимает вид:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^6 + 2x^3 + 1) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{0}^{1} (x^6 + 2x^3 + 1) dx = \left[ \frac{x^7}{7} + \frac{2x^4}{4} + x \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{x^7}{7} + \frac{x^4}{2} + x \right]_{0}^{1}$

$= \left( \frac{1^7}{7} + \frac{1^4}{2} + 1 \right) - \left( \frac{0^7}{7} + \frac{0^4}{2} + 0 \right) = \frac{1}{7} + \frac{1}{2} + 1$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{7} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{2}{14} + \frac{7}{14} + \frac{14}{14} = \frac{2+7+14}{14} = \frac{23}{14}$

Таким образом, объем тела вращения равен:

$V = \pi \cdot \frac{23}{14} = \frac{23\pi}{14}$

Ответ: $\frac{23\pi}{14}$.

103. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной прямой $y = 2x$ и графиком функции $y = x^2$ при $x \ge 0$.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс ($Ox$) фигуры, ограниченной графиками функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ (при условии $f(x) \geq g(x) \geq 0$) на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} (f(x)^2 - g(x)^2) dx$

Нахождение пределов интегрирования

Сначала найдём пределы интегрирования $a$ и $b$. Это абсциссы точек пересечения графиков функций $y = 2x$ и $y = x^2$. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 = 2x$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем два значения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Согласно условию задачи $x \geq 0$, поэтому пределы интегрирования — от $a = 0$ до $b = 2$.

Определение верхней и нижней функций

Теперь нужно определить, какая из функций является верхней (т.е. принимает большие значения) на интервале $(0, 2)$. Для этого можно взять любую точку из этого интервала, например, $x = 1$:

Для прямой $y_1 = 2x$: $y_1(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Для параболы $y_2 = x^2$: $y_2(1) = 1^2 = 1$

Поскольку $2 > 1$, на интервале $(0, 2)$ график прямой $y = 2x$ лежит выше графика параболы $y = x^2$. Таким образом, в нашей формуле $f(x) = 2x$ и $g(x) = x^2$.

Вычисление объема

Подставим найденные пределы и функции в формулу для вычисления объёма тела вращения:

$V = \pi \int_{0}^{2} ((2x)^2 - (x^2)^2) dx = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) dx$

Вычислим полученный определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \left( \frac{4 \cdot 2^3}{3} - \frac{2^5}{5} \right) - \left( \frac{4 \cdot 0^3}{3} - \frac{0^5}{5} \right) \right)$

$V = \pi \left( \left( \frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{32}{5} \right) - 0 \right)$

$V = \pi \left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right)$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$V = \pi \left( \frac{32 \cdot 5}{15} - \frac{32 \cdot 3}{15} \right) = \pi \left( \frac{160 - 96}{15} \right) = \pi \frac{64}{15}$

Ответ: $V = \frac{64\pi}{15}$

104. Вычислите значение многочлена $f(n) = n^2 - 3n + 13$ при $n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5$. Верна ли следующая гипотеза: при всех натуральных $n$ значение многочлена $f(n) = n^2 - 3n + 13$ — простое число?

Вычислим значения многочлена $f(n) = n^2 - 3n + 13$ при $n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5$.

• При $n=1$: $f(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 13 = 1 - 3 + 13 = 11$.
• При $n=2$: $f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 13 = 4 - 6 + 13 = 11$.
• При $n=3$: $f(3) = 3^2 - 3 \cdot 3 + 13 = 9 - 9 + 13 = 13$.
• При $n=4$: $f(4) = 4^2 - 3 \cdot 4 + 13 = 16 - 12 + 13 = 17$.
• При $n=5$: $f(5) = 5^2 - 3 \cdot 5 + 13 = 25 - 15 + 13 = 23$.

Ответ: $f(1)=11, f(2)=11, f(3)=13, f(4)=17, f(5)=23$.

Теперь проверим гипотезу: при всех натуральных $n$ значение многочлена $f(n) = n^2 - 3n + 13$ — простое число.

Все значения, вычисленные для $n$ от 1 до 5, являются простыми числами. Однако для того, чтобы гипотеза была верна, это условие должно выполняться для всех натуральных $n$. Для опровержения гипотезы достаточно найти хотя бы один контрпример.

Рассмотрим значение многочлена при $n=13$:
$f(13) = 13^2 - 3 \cdot 13 + 13$.
Можно вынести общий множитель 13 за скобки:
$f(13) = 13 \cdot (13 - 3 + 1) = 13 \cdot 11 = 143$.

Число 143 является составным, так как оно делится на 1, 11, 13 и 143. Поскольку мы нашли натуральное число $n=13$, при котором значение многочлена не является простым, гипотеза неверна.

Ответ: Гипотеза неверна.

105. Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство:

1) $1 \cdot 7 + 2 \cdot 13 + 3 \cdot 19 + \ldots + n(6n + 1) = \frac{n(n + 1)(4n + 3)}{2};$

2) $1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \ldots + n \cdot 3^{n-1} = \frac{3^n(2n - 1) + 1}{4};$

3) $\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 16} + \ldots + \frac{1}{(5n - 4)(5n + 1)} = \frac{n}{5n + 1}.$

Докажем данное равенство $1 \cdot 7 + 2 \cdot 13 + 3 \cdot 19 + \dots + n(6n+1) = \frac{n(n+1)(4n+3)}{2}$ методом математической индукции.

База индукции:
Проверим равенство для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot (6 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 7 = 7$.
Правая часть: $\frac{1(1+1)(4 \cdot 1 + 3)}{2} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 7}{2} = 7$.
Поскольку $7 = 7$, равенство верно для $n=1$.

Шаг индукции:
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, то есть:
$1 \cdot 7 + 2 \cdot 13 + \dots + k(6k+1) = \frac{k(k+1)(4k+3)}{2}$.
Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$. Мы должны доказать, что:
$1 \cdot 7 + 2 \cdot 13 + \dots + (k+1)(6(k+1)+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)(4(k+1)+3)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)(4k+7)}{2}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:
$(1 \cdot 7 + 2 \cdot 13 + \dots + k(6k+1)) + (k+1)(6(k+1)+1)$.
Используя предположение индукции для суммы в скобках, получаем:
$\frac{k(k+1)(4k+3)}{2} + (k+1)(6k+7)$.
Вынесем общий множитель $\frac{k+1}{2}$ за скобки:
$\frac{k+1}{2} [k(4k+3) + 2(6k+7)] = \frac{k+1}{2} [4k^2 + 3k + 12k + 14] = \frac{k+1}{2} (4k^2 + 15k + 14)$.
Разложим квадратный трехчлен $4k^2 + 15k + 14$ на множители. Корни уравнения $4k^2 + 15k + 14 = 0$ равны $k_1=-2$ и $k_2=-7/4$. Тогда $4k^2 + 15k + 14 = 4(k - (-2))(k - (-7/4)) = (k+2)(4k+7)$.
Подставим разложение в наше выражение:
$\frac{(k+1)(k+2)(4k+7)}{2}$.
Это совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство доказано.

Докажем данное равенство $1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1} = \frac{3^n(2n-1)+1}{4}$ методом математической индукции.

База индукции:
Проверим равенство для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot 3^{1-1} = 1 \cdot 3^0 = 1$.
Правая часть: $\frac{3^1(2 \cdot 1 - 1) + 1}{4} = \frac{3 \cdot 1 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Поскольку $1=1$, равенство верно для $n=1$.

Шаг индукции:
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, то есть:
$1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + k \cdot 3^{k-1} = \frac{3^k(2k-1)+1}{4}$.
Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$. Мы должны доказать, что:
$1 + 2 \cdot 3 + \dots + (k+1) \cdot 3^k = \frac{3^{k+1}(2(k+1)-1)+1}{4} = \frac{3^{k+1}(2k+1)+1}{4}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:
$(1 + 2 \cdot 3 + \dots + k \cdot 3^{k-1}) + (k+1) \cdot 3^k$.
Используя предположение индукции для суммы в скобках, получаем:
$\frac{3^k(2k-1)+1}{4} + (k+1) \cdot 3^k = \frac{3^k(2k-1)+1 + 4(k+1) \cdot 3^k}{4}$.
Сгруппируем слагаемые с $3^k$:
$\frac{3^k(2k-1 + 4(k+1)) + 1}{4} = \frac{3^k(2k-1+4k+4) + 1}{4} = \frac{3^k(6k+3) + 1}{4}$.
Вынесем 3 за скобки в выражении $(6k+3)$:
$\frac{3^k \cdot 3(2k+1) + 1}{4} = \frac{3^{k+1}(2k+1) + 1}{4}$.
Это совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство доказано.

Докажем данное равенство $\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(5n-4)(5n+1)} = \frac{n}{5n+1}$ методом математической индукции.

База индукции:
Проверим равенство для $n=1$.
Левая часть: $\frac{1}{(5 \cdot 1 - 4)(5 \cdot 1 + 1)} = \frac{1}{1 \cdot 6} = \frac{1}{6}$.
Правая часть: $\frac{1}{5 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{6}$.
Поскольку $\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$, равенство верно для $n=1$.

Шаг индукции:
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, то есть:
$\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(5k-4)(5k+1)} = \frac{k}{5k+1}$.
Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$. Мы должны доказать, что:
$\frac{1}{1 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{(5(k+1)-4)(5(k+1)+1)} = \frac{k+1}{5(k+1)+1} = \frac{k+1}{5k+6}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:
$(\frac{1}{1 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{(5k-4)(5k+1)}) + \frac{1}{(5(k+1)-4)(5(k+1)+1)}$.
Используя предположение индукции для суммы в скобках, получаем:
$\frac{k}{5k+1} + \frac{1}{(5k+1)(5k+6)}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{k(5k+6) + 1}{(5k+1)(5k+6)} = \frac{5k^2+6k+1}{(5k+1)(5k+6)}$.
Разложим числитель $5k^2+6k+1$ на множители. Корни уравнения $5k^2+6k+1=0$ равны $k_1=-1$ и $k_2=-1/5$. Следовательно, $5k^2+6k+1 = 5(k+1)(k+1/5) = (k+1)(5k+1)$.
Подставим разложение в наше выражение:
$\frac{(k+1)(5k+1)}{(5k+1)(5k+6)}$.
Сократим дробь на $(5k+1)$:
$\frac{k+1}{5k+6}$.
Это совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство доказано.

106. Докажите неравенство $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2n-1}{2n} > \frac{1}{2\sqrt{n}}$, где $n \in N, n > 1$.

Докажем данное неравенство методом математической индукции.

Пусть $P(n)$ — это утверждение $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2n-1}{2n} > \frac{1}{2\sqrt{n}}$. Нам необходимо доказать, что $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n > 1$.

Шаг 1: База индукции

Проверим утверждение для наименьшего возможного значения $n$, то есть для $n=2$.
Левая часть неравенства: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.
Правая часть неравенства: $\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
Проверим, выполняется ли неравенство $\frac{3}{8} > \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
Умножим обе части на 8, получим $3 > \frac{8}{2\sqrt{2}}$, что эквивалентно $3 > \frac{4}{\sqrt{2}}$, или $3 > 2\sqrt{2}$.
Поскольку обе части положительны, возведем их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$3^2 > (2\sqrt{2})^2$
$9 > 4 \cdot 2$
$9 > 8$
Неравенство верно. Таким образом, база индукции установлена.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что утверждение $P(k)$ истинно для некоторого натурального числа $k \ge 2$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2k-1}{2k} > \frac{1}{2\sqrt{k}}$

Шаг 3: Индукционный переход

Докажем, что из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$, то есть:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2(k+1)-1}{2(k+1)} > \frac{1}{2\sqrt{k+1}}$
Левая часть этого неравенства может быть записана как произведение левой части неравенства для $k$ и нового множителя $\frac{2k+1}{2k+2}$. Используя индукционное предположение, получаем:
$\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2k-1}{2k}\right) \cdot \frac{2k+1}{2k+2} > \frac{1}{2\sqrt{k}} \cdot \frac{2k+1}{2k+2}$
Теперь нам достаточно доказать, что полученное выражение больше правой части доказываемого неравенства для $k+1$:
$\frac{1}{2\sqrt{k}} \cdot \frac{2k+1}{2k+2} > \frac{1}{2\sqrt{k+1}}$
Умножим обе части на $2$:
$\frac{2k+1}{2(k+1)\sqrt{k}} > \frac{1}{\sqrt{k+1}}$
Перегруппируем члены:
$\frac{2k+1}{2(k+1)} > \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}$
Поскольку обе части положительны при $k \ge 2$, возведем их в квадрат:
$\left(\frac{2k+1}{2(k+1)}\right)^2 > \left(\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)^2$
$\frac{(2k+1)^2}{4(k+1)^2} > \frac{k}{k+1}$
Умножим обе части на положительное число $4(k+1)^2$:
$(2k+1)^2 > 4k(k+1)$
Раскроем скобки:
$4k^2 + 4k + 1 > 4k^2 + 4k$
$1 > 0$
Последнее неравенство очевидно истинно. Таким образом, индукционный переход доказан.

Поскольку база индукции и индукционный переход верны, утверждение $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n > 1$ по принципу математической индукции.

Ответ: Неравенство доказано.

107. При каких натуральных значениях $n$ выполняется неравенство:

1) $4^n > 3n + 1$;

2) $2^n > 5n - 6$?

1) $4^n > 3n + 1$

Решим это неравенство для натуральных чисел $n$ (т.е. $n \ge 1$). Для решения таких неравенств удобно проверить несколько первых значений $n$, а затем доказать общее утверждение методом математической индукции.

Проверим первые несколько натуральных значений $n$:

• При $n=1$: $4^1 > 3(1) + 1 \Rightarrow 4 > 4$. Неравенство неверно.
• При $n=2$: $4^2 > 3(2) + 1 \Rightarrow 16 > 7$. Неравенство верно.
• При $n=3$: $4^3 > 3(3) + 1 \Rightarrow 64 > 10$. Неравенство верно.

Можно предположить, что неравенство выполняется для всех натуральных $n \ge 2$. Докажем это методом математической индукции.

База индукции:

При $n=2$ неравенство $16 > 7$ верно, что мы уже проверили.

Шаг индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального $k \ge 2$, то есть $4^k > 3k + 1$.

Докажем, что из этого следует верность неравенства для $n = k+1$, то есть $4^{k+1} > 3(k+1) + 1$.

Преобразуем левую часть неравенства для $n=k+1$:

$4^{k+1} = 4 \cdot 4^k$

Используя предположение индукции $4^k > 3k + 1$, получаем:

$4 \cdot 4^k > 4 \cdot (3k + 1) = 12k + 4$

Теперь нам нужно доказать, что $12k + 4 > 3(k+1) + 1$. Правая часть этого неравенства равна $3k + 3 + 1 = 3k + 4$.

Сравним $12k + 4$ и $3k + 4$. Так как $k \ge 2$, то $12k > 3k$, следовательно $12k + 4 > 3k + 4$.

Таким образом, мы получили цепочку неравенств:

$4^{k+1} > 12k + 4 > 3k + 4 = 3(k+1) + 1$

Значит, $4^{k+1} > 3(k+1) + 1$.

Шаг индукции доказан. Следовательно, неравенство выполняется для всех натуральных $n \ge 2$.

Ответ: $n \ge 2$, где $n$ — натуральное число (или $n \in \{2, 3, 4, ...\}$).

2) $2^n > 5n - 6$

Решим это неравенство для натуральных чисел $n$ ($n \ge 1$) путем проверки нескольких первых значений и последующего доказательства по индукции.

Проверим первые несколько натуральных значений $n$:

• При $n=1$: $2^1 > 5(1) - 6 \Rightarrow 2 > -1$. Неравенство верно.
• При $n=2$: $2^2 > 5(2) - 6 \Rightarrow 4 > 4$. Неравенство неверно.
• При $n=3$: $2^3 > 5(3) - 6 \Rightarrow 8 > 9$. Неравенство неверно.
• При $n=4$: $2^4 > 5(4) - 6 \Rightarrow 16 > 14$. Неравенство верно.
• При $n=5$: $2^5 > 5(5) - 6 \Rightarrow 32 > 19$. Неравенство верно.

Таким образом, неравенство выполняется при $n=1$ и, предположительно, при всех $n \ge 4$. Докажем вторую часть ($n \ge 4$) методом математической индукции.

База индукции:

При $n=4$ неравенство $16 > 14$ верно, что мы уже проверили.

Шаг индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального $k \ge 4$, то есть $2^k > 5k - 6$.

Докажем, что из этого следует верность неравенства для $n = k+1$, то есть $2^{k+1} > 5(k+1) - 6$.

Преобразуем левую часть неравенства для $n=k+1$:

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$

Используя предположение индукции $2^k > 5k - 6$, получаем:

$2 \cdot 2^k > 2 \cdot (5k - 6) = 10k - 12$

Теперь нам нужно доказать, что $10k - 12 > 5(k+1) - 6$. Правая часть этого неравенства равна $5k + 5 - 6 = 5k - 1$.

Сравним $10k - 12$ и $5k - 1$. Рассмотрим их разность: $(10k - 12) - (5k - 1) = 5k - 11$.

Так как по условию индукции $k \ge 4$, то $5k \ge 20$, и $5k - 11 \ge 20 - 11 = 9 > 0$.

Следовательно, $10k - 12 > 5k - 1$.

Мы получили цепочку неравенств:

$2^{k+1} > 10k - 12 > 5k - 1 = 5(k+1) - 6$

Значит, $2^{k+1} > 5(k+1) - 6$.

Шаг индукции доказан. Следовательно, неравенство выполняется для всех натуральных $n \ge 4$.

Объединяя результаты, получаем, что неравенство верно для $n=1$ и для всех натуральных $n \ge 4$.

Ответ: $n=1$ и $n \ge 4$, где $n$ — натуральное число (или $n \in \{1\} \cup \{4, 5, 6, ...\}$).