Номер 102, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $x = 2$ и $y = 0$;

2) синусоидой $y = \sin x$ и прямыми $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$ и $y = 0$;

3) графиком функции $y = x^3 + 1$ и прямыми $x = 0$, $x = 1$ и $y = 0$.

1) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $x = 2$ и $y = 0$;

Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данном случае, фигура ограничена графиком функции $y=\sqrt{x}$, прямой $x=2$ и осью $y=0$ (ось абсцисс). Пределы интегрирования определяются из условий: график $y=\sqrt{x}$ пересекает ось $y=0$ в точке $x=0$, а вторая граница задана прямой $x=2$. Таким образом, интегрирование производится в пределах от $a=0$ до $b=2$.

Функция $f(x) = \sqrt{x}$. Подставим данные в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{2} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{2} x dx$

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{0}^{2} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2$

Таким образом, объем тела вращения равен:

$V = \pi \cdot 2 = 2\pi$

Ответ: $2\pi$.

2) синусоидой $y = \sin x$ и прямыми $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$ и $y = 0$;

Используем ту же формулу для объема тела вращения. Здесь $f(x) = \sin x$, а пределы интегрирования заданы: $a = \frac{\pi}{6}$ и $b = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$V = \pi \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (\sin x)^2 dx = \pi \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \sin^2 x dx$

Для вычисления интеграла используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$V = \pi \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (1 - \cos(2x)) dx$

Найдем первообразную для подынтегрального выражения:

$\int (1 - \cos(2x)) dx = x - \frac{1}{2}\sin(2x)$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{\pi/6}^{5\pi/6} = \left( \frac{5\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{5\pi}{6}\right) \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) \right)$

$= \left( \frac{5\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)$

Так как $\sin(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$= \left( \frac{5\pi}{6} - \frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) = \left( \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$

$= \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{4\pi}{6} + \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Объем тела равен:

$V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi^2}{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\frac{\pi^2}{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{4}$.

3) графиком функции $y = x^3 + 1$ и прямыми $x = 0$, $x = 1$ и $y = 0$.

Снова используем формулу для объема тела вращения. В этом случае $f(x) = x^3 + 1$, а пределы интегрирования $a=0$ и $b=1$.

Подставляем данные в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^3 + 1)^2 dx$

Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$(x^3 + 1)^2 = (x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot 1 + 1^2 = x^6 + 2x^3 + 1$

Интеграл принимает вид:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^6 + 2x^3 + 1) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{0}^{1} (x^6 + 2x^3 + 1) dx = \left[ \frac{x^7}{7} + \frac{2x^4}{4} + x \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{x^7}{7} + \frac{x^4}{2} + x \right]_{0}^{1}$

$= \left( \frac{1^7}{7} + \frac{1^4}{2} + 1 \right) - \left( \frac{0^7}{7} + \frac{0^4}{2} + 0 \right) = \frac{1}{7} + \frac{1}{2} + 1$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{7} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{2}{14} + \frac{7}{14} + \frac{14}{14} = \frac{2+7+14}{14} = \frac{23}{14}$

Таким образом, объем тела вращения равен:

$V = \pi \cdot \frac{23}{14} = \frac{23\pi}{14}$

Ответ: $\frac{23\pi}{14}$.