Номер 98, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. При каком значении $a$ прямая $x = a$ разбивает фигуру, ограниченную графиком функции $y = \frac{8}{x}$ и прямыми $y = 0, x = 2, x = 10$, на две равновеликие фигуры?

Для решения задачи необходимо найти такое значение a, при котором площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{8}{x}$, $y=0$, $x=2$ и $x=a$, будет равна половине площади всей фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{8}{x}$, $y=0$, $x=2$ и $x=10$.

1. Найдем площадь всей фигуры.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f(x) \geq 0$, осью абсцисс и прямыми $x=c$ и $x=d$, вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_{c}^{d} f(x) dx$.
В нашем случае $f(x) = \frac{8}{x}$, $c=2$, $d=10$.$$S = \int_{2}^{10} \frac{8}{x} dx$$Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{8}{x}$. Это $F(x) = 8 \ln|x|$.
По формуле Ньютона-Лейбница:$$S = F(10) - F(2) = 8 \ln|10| - 8 \ln|2|$$Так как на отрезке $[2, 10]$ значение $x$ положительно, знаки модуля можно опустить:$$S = 8 \ln(10) - 8 \ln(2) = 8 (\ln 10 - \ln 2) = 8 \ln\left(\frac{10}{2}\right) = 8 \ln 5$$

2. Найдем значение a.
Прямая $x=a$ делит фигуру на две равновеликие части. Это значит, что площадь фигуры от $x=2$ до $x=a$ должна быть равна половине общей площади $S$. Заметим, что $a$ должно находиться в интервале $(2, 10)$.$$ \int_{2}^{a} \frac{8}{x} dx = \frac{1}{2} S $$Подставим найденное значение $S$:$$ \int_{2}^{a} \frac{8}{x} dx = \frac{1}{2} (8 \ln 5) = 4 \ln 5 $$Вычислим интеграл в левой части уравнения:$$ \int_{2}^{a} \frac{8}{x} dx = [8 \ln|x|]_2^a = 8 \ln|a| - 8 \ln|2| = 8 \ln\left(\frac{a}{2}\right) $$Теперь приравняем полученное выражение к $4 \ln 5$:$$ 8 \ln\left(\frac{a}{2}\right) = 4 \ln 5 $$Разделим обе части уравнения на 8:$$ \ln\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{4}{8} \ln 5 = \frac{1}{2} \ln 5 $$Используя свойство логарифма $n \cdot \log_b c = \log_b (c^n)$, преобразуем правую часть:$$ \ln\left(\frac{a}{2}\right) = \ln(5^{1/2}) = \ln(\sqrt{5}) $$Так как основания логарифмов равны, то и их аргументы должны быть равны:$$ \frac{a}{2} = \sqrt{5} $$Отсюда находим $a$:$$ a = 2\sqrt{5} $$Проверим, что $2 < 2\sqrt{5} < 10$. Так как $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{25}$, то $2 < \sqrt{5} < 5$. Умножая на 2, получаем $4 < 2\sqrt{5} < 10$. Условие выполняется.

Ответ: $a = 2\sqrt{5}$