Номер 103, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной прямой $y = 2x$ и графиком функции $y = x^2$ при $x \ge 0$.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс ($Ox$) фигуры, ограниченной графиками функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ (при условии $f(x) \geq g(x) \geq 0$) на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} (f(x)^2 - g(x)^2) dx$

Нахождение пределов интегрирования

Сначала найдём пределы интегрирования $a$ и $b$. Это абсциссы точек пересечения графиков функций $y = 2x$ и $y = x^2$. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 = 2x$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем два значения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Согласно условию задачи $x \geq 0$, поэтому пределы интегрирования — от $a = 0$ до $b = 2$.

Определение верхней и нижней функций

Теперь нужно определить, какая из функций является верхней (т.е. принимает большие значения) на интервале $(0, 2)$. Для этого можно взять любую точку из этого интервала, например, $x = 1$:

Для прямой $y_1 = 2x$: $y_1(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Для параболы $y_2 = x^2$: $y_2(1) = 1^2 = 1$

Поскольку $2 > 1$, на интервале $(0, 2)$ график прямой $y = 2x$ лежит выше графика параболы $y = x^2$. Таким образом, в нашей формуле $f(x) = 2x$ и $g(x) = x^2$.

Вычисление объема

Подставим найденные пределы и функции в формулу для вычисления объёма тела вращения:

$V = \pi \int_{0}^{2} ((2x)^2 - (x^2)^2) dx = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) dx$

Вычислим полученный определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \left( \frac{4 \cdot 2^3}{3} - \frac{2^5}{5} \right) - \left( \frac{4 \cdot 0^3}{3} - \frac{0^5}{5} \right) \right)$

$V = \pi \left( \left( \frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{32}{5} \right) - 0 \right)$

$V = \pi \left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right)$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$V = \pi \left( \frac{32 \cdot 5}{15} - \frac{32 \cdot 3}{15} \right) = \pi \left( \frac{160 - 96}{15} \right) = \pi \frac{64}{15}$

Ответ: $V = \frac{64\pi}{15}$