Номер 99, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Вычислите интеграл:

1) $\int_{\pi}^{2\pi} \text{tg}^2 \frac{x}{6} \, dx$;

2) $\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} 2\cos^2 \frac{x}{10} \, dx$;

3) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \sin 4x \cos x \, dx$;

4) $\int_{-1}^{3} (x^2 - 3x)^2 \, dx$;

5) $\int_{-2}^{-1} \frac{x^4 - x^3 + 5}{x^6} \, dx$;

6) $\int_{\ln 3}^{\ln 6} (3 + e^{4x}) \, dx$;

7) $\int_{-2}^{0} \frac{16^x - 3 \cdot 2^x}{8^x} \, dx$;

8) $\int_{-3}^{-1} \frac{2x^4 + x^2 - 1}{x^3} \, dx$;

9) $\int_{1}^{3} \frac{e^x + x^4}{x^4 e^x} \, dx$.

1) Вычислим интеграл $\int_{\pi}^{2\pi} \text{tg}^2\frac{x}{6} dx$.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1$.

$\int_{\pi}^{2\pi} \text{tg}^2\frac{x}{6} dx = \int_{\pi}^{2\pi} \left(\frac{1}{\cos^2\frac{x}{6}} - 1\right) dx$.

Найдем первообразную, зная, что $\int \frac{1}{\cos^2(kx)} dx = \frac{1}{k}\text{tg}(kx) + C$.

$\int \left(\frac{1}{\cos^2\frac{x}{6}} - 1\right) dx = 6\text{tg}\frac{x}{6} - x + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\left[6\text{tg}\frac{x}{6} - x\right]_{\pi}^{2\pi} = \left(6\text{tg}\frac{2\pi}{6} - 2\pi\right) - \left(6\text{tg}\frac{\pi}{6} - \pi\right) = \left(6\text{tg}\frac{\pi}{3} - 2\pi\right) - \left(6\text{tg}\frac{\pi}{6} - \pi\right)$

$= (6\sqrt{3} - 2\pi) - (6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \pi) = (6\sqrt{3} - 2\pi) - (2\sqrt{3} - \pi) = 6\sqrt{3} - 2\pi - 2\sqrt{3} + \pi = 4\sqrt{3} - \pi$.

Ответ: $4\sqrt{3} - \pi$.

2) Вычислим интеграл $\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} 2\cos^2\frac{x}{10} dx$.

Используем формулу понижения степени: $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$.

$\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} 2\cos^2\frac{x}{10} dx = \int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} \left(1 + \cos\frac{2x}{10}\right) dx = \int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} \left(1 + \cos\frac{x}{5}\right) dx$.

Найдем первообразную: $\int \left(1 + \cos\frac{x}{5}\right) dx = x + 5\sin\frac{x}{5} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[x + 5\sin\frac{x}{5}\right]_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} = \left(\frac{5\pi}{2} + 5\sin\frac{5\pi/2}{5}\right) - \left(\frac{5\pi}{4} + 5\sin\frac{5\pi/4}{5}\right)$

$= \left(\frac{5\pi}{2} + 5\sin\frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{5\pi}{4} + 5\sin\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{5\pi}{2} + 5 \cdot 1\right) - \left(\frac{5\pi}{4} + 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$= \frac{5\pi}{2} + 5 - \frac{5\pi}{4} - \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{10\pi - 5\pi}{4} + 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5\pi}{4} + 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \sin(4x)\cos(x) dx$.

Используем формулу преобразования произведения в сумму: $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \sin(4x)\cos(x) dx = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} (\sin(5x) + \sin(3x)) dx$.

Найдем первообразную: $\frac{1}{2}\int (\sin(5x) + \sin(3x)) dx = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{5}\cos(5x) - \frac{1}{3}\cos(3x)\right) + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2}\left[-\frac{\cos(5x)}{5} - \frac{\cos(3x)}{3}\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} = \frac{1}{2}\left[\left(-\frac{\cos(5\pi)}{5} - \frac{\cos(3\pi)}{3}\right) - \left(-\frac{\cos(5\pi/6)}{5} - \frac{\cos(3\pi/6)}{3}\right)\right]$

$= \frac{1}{2}\left[\left(-\frac{-1}{5} - \frac{-1}{3}\right) - \left(-\frac{-\sqrt{3}/2}{5} - \frac{0}{3}\right)\right] = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{3}\right) - \frac{\sqrt{3}}{10}\right]$

$= \frac{1}{2}\left[\frac{3+5}{15} - \frac{\sqrt{3}}{10}\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{8}{15} - \frac{\sqrt{3}}{10}\right) = \frac{4}{15} - \frac{\sqrt{3}}{20} = \frac{16 - 3\sqrt{3}}{60}$.

Ответ: $\frac{16 - 3\sqrt{3}}{60}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{3} (x^2 - 3x)^2 dx$.

Раскроем скобки в подынтегральном выражении: $(x^2 - 3x)^2 = x^4 - 6x^3 + 9x^2$.

$\int_{-1}^{3} (x^4 - 6x^3 + 9x^2) dx$.

Найдем первообразную, используя правило степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

$\int (x^4 - 6x^3 + 9x^2) dx = \frac{x^5}{5} - \frac{6x^4}{4} + \frac{9x^3}{3} + C = \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{2} + 3x^3 + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[\frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{2} + 3x^3\right]_{-1}^{3} = \left(\frac{3^5}{5} - \frac{3 \cdot 3^4}{2} + 3 \cdot 3^3\right) - \left(\frac{(-1)^5}{5} - \frac{3(-1)^4}{2} + 3(-1)^3\right)$

$= \left(\frac{243}{5} - \frac{243}{2} + 81\right) - \left(-\frac{1}{5} - \frac{3}{2} - 3\right) = \left(\frac{486 - 1215 + 810}{10}\right) - \left(\frac{-2 - 15 - 30}{10}\right)$

$= \frac{81}{10} - \left(-\frac{47}{10}\right) = \frac{81 + 47}{10} = \frac{128}{10} = \frac{64}{5}$.

Ответ: $\frac{64}{5}$.

5) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} \frac{x^4 - x^3 + 5}{x^6} dx$.

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{x^4 - x^3 + 5}{x^6} = \frac{x^4}{x^6} - \frac{x^3}{x^6} + \frac{5}{x^6} = x^{-2} - x^{-3} + 5x^{-6}$.

$\int_{-2}^{-1} (x^{-2} - x^{-3} + 5x^{-6}) dx$.

Найдем первообразную: $\int (x^{-2} - x^{-3} + 5x^{-6}) dx = \frac{x^{-1}}{-1} - \frac{x^{-2}}{-2} + \frac{5x^{-5}}{-5} + C = -\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x^5} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[-\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{x^5}\right]_{-2}^{-1} = \left(-\frac{1}{-1} + \frac{1}{2(-1)^2} - \frac{1}{(-1)^5}\right) - \left(-\frac{1}{-2} + \frac{1}{2(-2)^2} - \frac{1}{(-2)^5}\right)$

$= \left(1 + \frac{1}{2} - (-1)\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{8} - (-\frac{1}{32})\right) = \left(\frac{5}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32}\right)$

$= \frac{5}{2} - \left(\frac{16+4+1}{32}\right) = \frac{5}{2} - \frac{21}{32} = \frac{80-21}{32} = \frac{59}{32}$.

Ответ: $\frac{59}{32}$.

6) Вычислим интеграл $\int_{\ln 3}^{\ln 6} (3 + e^{4x}) dx$.

Найдем первообразную: $\int (3 + e^{4x}) dx = 3x + \frac{1}{4}e^{4x} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[3x + \frac{1}{4}e^{4x}\right]_{\ln 3}^{\ln 6} = \left(3\ln 6 + \frac{1}{4}e^{4\ln 6}\right) - \left(3\ln 3 + \frac{1}{4}e^{4\ln 3}\right)$.

Используем свойство $a\ln b = \ln b^a$ и $e^{\ln x} = x$:

$= \left(3\ln 6 + \frac{1}{4}e^{\ln(6^4)}\right) - \left(3\ln 3 + \frac{1}{4}e^{\ln(3^4)}\right) = \left(3\ln 6 + \frac{6^4}{4}\right) - \left(3\ln 3 + \frac{3^4}{4}\right)$

$= \left(3\ln 6 + \frac{1296}{4}\right) - \left(3\ln 3 + \frac{81}{4}\right) = (3\ln 6 + 324) - (3\ln 3 + \frac{81}{4})$

$= 3(\ln 6 - \ln 3) + 324 - \frac{81}{4} = 3\ln\frac{6}{3} + \frac{1296 - 81}{4} = 3\ln 2 + \frac{1215}{4}$.

Ответ: $3\ln 2 + \frac{1215}{4}$.

7) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{0} \frac{16^x - 3 \cdot 2^x}{8^x} dx$.

Упростим подынтегральное выражение, представив все степени с основанием 2:

$\frac{16^x - 3 \cdot 2^x}{8^x} = \frac{(2^4)^x - 3 \cdot 2^x}{(2^3)^x} = \frac{2^{4x} - 3 \cdot 2^x}{2^{3x}} = \frac{2^{4x}}{2^{3x}} - \frac{3 \cdot 2^x}{2^{3x}} = 2^x - 3 \cdot 2^{-2x}$.

$\int_{-2}^{0} (2^x - 3 \cdot 2^{-2x}) dx$.

Найдем первообразную, используя формулу $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$:

$\int (2^x - 3 \cdot 2^{-2x}) dx = \frac{2^x}{\ln 2} - 3 \cdot \frac{2^{-2x}}{-2\ln 2} + C = \frac{2^x}{\ln 2} + \frac{3 \cdot 2^{-2x}}{2\ln 2} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[\frac{2^x}{\ln 2} + \frac{3 \cdot 2^{-2x}}{2\ln 2}\right]_{-2}^{0} = \left(\frac{2^0}{\ln 2} + \frac{3 \cdot 2^0}{2\ln 2}\right) - \left(\frac{2^{-2}}{\ln 2} + \frac{3 \cdot 2^{-2(-2)}}{2\ln 2}\right)$

$= \left(\frac{1}{\ln 2} + \frac{3}{2\ln 2}\right) - \left(\frac{1/4}{\ln 2} + \frac{3 \cdot 2^4}{2\ln 2}\right) = \left(\frac{2+3}{2\ln 2}\right) - \left(\frac{1}{4\ln 2} + \frac{48}{2\ln 2}\right)$

$= \frac{5}{2\ln 2} - \left(\frac{1}{4\ln 2} + \frac{96}{4\ln 2}\right) = \frac{10}{4\ln 2} - \frac{97}{4\ln 2} = -\frac{87}{4\ln 2}$.

Ответ: $-\frac{87}{4\ln 2}$.

8) Вычислим интеграл $\int_{-3}^{-1} \frac{2x^4 + x^2 - 1}{x^3} dx$.

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{2x^4 + x^2 - 1}{x^3} = \frac{2x^4}{x^3} + \frac{x^2}{x^3} - \frac{1}{x^3} = 2x + \frac{1}{x} - x^{-3}$.

$\int_{-3}^{-1} (2x + \frac{1}{x} - x^{-3}) dx$.

Найдем первообразную: $\int (2x + \frac{1}{x} - x^{-3}) dx = x^2 + \ln|x| - \frac{x^{-2}}{-2} + C = x^2 + \ln|x| + \frac{1}{2x^2} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[x^2 + \ln|x| + \frac{1}{2x^2}\right]_{-3}^{-1} = \left((-1)^2 + \ln|-1| + \frac{1}{2(-1)^2}\right) - \left((-3)^2 + \ln|-3| + \frac{1}{2(-3)^2}\right)$

$= \left(1 + 0 + \frac{1}{2}\right) - \left(9 + \ln 3 + \frac{1}{18}\right) = \frac{3}{2} - 9 - \ln 3 - \frac{1}{18}$

$= \frac{27 - 162 - 1}{18} - \ln 3 = -\frac{136}{18} - \ln 3 = -\frac{68}{9} - \ln 3$.

Ответ: $-\frac{68}{9} - \ln 3$.

9) Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} \frac{e^x + x^4}{x^4 e^x} dx$.

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{e^x + x^4}{x^4 e^x} = \frac{e^x}{x^4 e^x} + \frac{x^4}{x^4 e^x} = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{e^x} = x^{-4} + e^{-x}$.

$\int_{1}^{3} (x^{-4} + e^{-x}) dx$.

Найдем первообразную: $\int (x^{-4} + e^{-x}) dx = \frac{x^{-3}}{-3} + \frac{e^{-x}}{-1} + C = -\frac{1}{3x^3} - e^{-x} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[-\frac{1}{3x^3} - e^{-x}\right]_{1}^{3} = \left(-\frac{1}{3 \cdot 3^3} - e^{-3}\right) - \left(-\frac{1}{3 \cdot 1^3} - e^{-1}\right)$

$= \left(-\frac{1}{81} - \frac{1}{e^3}\right) - \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{e}\right) = -\frac{1}{81} - \frac{1}{e^3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{e}$

$= \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{81}\right) + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3} = \left(\frac{27 - 1}{81}\right) + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3} = \frac{26}{81} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3}$.

Ответ: $\frac{26}{81} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3}$.