Номер 94, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиками функций $y = \sqrt{5-x}$ и $y = \sqrt{x+3}$ и осью абсцисс;

2) графиком функции $y = \begin{cases} x+3 \text{ при } -3 \le x < 0, \\ 3\cos x \text{ при } 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \end{cases}$ и осью абсцисс.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y=\sqrt{5-x}$, $y=\sqrt{x+3}$ и осью абсцисс, сначала найдем точки пересечения этих графиков.

Графики $y=\sqrt{5-x}$ и $y=\sqrt{x+3}$ пересекают ось абсцисс ($y=0$) в точках $x=5$ и $x=-3$ соответственно. Это будут пределы интегрирования по оси Ox.

Найдем точку пересечения графиков функций $y=\sqrt{5-x}$ и $y=\sqrt{x+3}$:

$\sqrt{5-x} = \sqrt{x+3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$5-x = x+3$

$2x = 2$

$x=1$

Таким образом, точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=1$. Фигура состоит из двух частей. Площадь первой части находится под графиком $y=\sqrt{x+3}$ на отрезке $[-3, 1]$, а площадь второй части — под графиком $y=\sqrt{5-x}$ на отрезке $[1, 5]$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме двух интегралов:

$S = \int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} \,dx + \int_{1}^{5} \sqrt{5-x} \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{-3}^{1} \sqrt{x+3} \,dx = \int_{-3}^{1} (x+3)^{1/2} \,d(x+3) = \left[ \frac{2}{3}(x+3)^{3/2} \right]_{-3}^{1} = \frac{2}{3}(1+3)^{3/2} - \frac{2}{3}(-3+3)^{3/2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$

Вычислим второй интеграл:

$\int_{1}^{5} \sqrt{5-x} \,dx = -\int_{1}^{5} (5-x)^{1/2} \,d(5-x) = -\left[ \frac{2}{3}(5-x)^{3/2} \right]_{1}^{5} = -(\frac{2}{3}(5-5)^{3/2} - \frac{2}{3}(5-1)^{3/2}) = -(0 - \frac{2}{3}(4)^{3/2}) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$

Суммарная площадь:

$S = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

2) Фигура ограничена графиком кусочно-заданной функции и осью абсцисс. Площадь этой фигуры можно найти как сумму площадей двух криволинейных трапеций.

Первая трапеция ограничена графиком функции $y = x+3$ и осью абсцисс на отрезке $[-3, 0]$. Вторая трапеция ограничена графиком функции $y = 3\cos x$ и осью абсцисс на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

На отрезке $[-3, 0]$ функция $y = x+3 \ge 0$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y = 3\cos x \ge 0$.

Площадь $S$ вычисляется как сумма двух интегралов:

$S = \int_{-3}^{0} (x+3) \,dx + \int_{0}^{\pi/2} 3\cos x \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{-3}^{0} (x+3) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 3x \right]_{-3}^{0} = (\frac{0^2}{2} + 3 \cdot 0) - (\frac{(-3)^2}{2} + 3(-3)) = 0 - (\frac{9}{2} - 9) = -(-\frac{9}{2}) = \frac{9}{2}$

Вычислим второй интеграл:

$\int_{0}^{\pi/2} 3\cos x \,dx = 3 \int_{0}^{\pi/2} \cos x \,dx = 3 [\sin x]_{0}^{\pi/2} = 3(\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)) = 3(1-0) = 3$

Суммарная площадь:

$S = \frac{9}{2} + 3 = \frac{9}{2} + \frac{6}{2} = \frac{15}{2}$

Ответ: $\frac{15}{2}$